ピタゴラス数１

2016年10月12日2018年2月28日

ピタゴラス数の性質に関する問題です。

１．B (関西学院大)
$a,~b,~c$ を自然数とする．
(1) $a$ が3の倍数でないならば， $a^2-1$ は3の倍数であることを示せ．
(2) $a^2+b^2=c^2$ が成り立つとき， $a,~b$ の少なくとも一方は3の倍数であることを示せ．
(3) $a,~b$ が互いに素で， $a^2+b^2=c^2$ が成り立つとき， $c$ は奇数であることを示せ．

→解答

２．B (早稲田大)
自然数の組 $(x,y,z)$ が等式 $x^2+y^2=z^2$ を満たすとする．
(1) すべての自然数 $n$ について， $n^2$ を4で割った余りは0か1のいずれかであることを示せ．
(2) $x$ と $y$ の少なくとも一方が偶数であることを示せ．
(3) $x$ が偶数， $y$ が奇数であるとする．このとき， $x$ が4の倍数であることを示せ．

→解答

３．C (一橋大)
直角三角形の3辺の長さがすべて整数のとき，面積は2の整数倍であることを示せ．

→解答

最後に四平方の定理。

４．B (横浜国立大)
自然数 $a,~b,~c,~d$ が $a^2+b^2+c^2=d^2$ をみたしている．
(1) $d$ が3で割り切れるならば， $a,~b,~c$ はすべて3で割り切れるか， $a,~b,~c$ のどれも3で割り切れないのどちらかであることを示せ．
(2) $a,~b,~c$ のうち偶数が少なくとも2つあることを示せ．