剰余の問題3

2018年8月18日

次はn乗の剰余の問題です。

1.A (自治医大)
次の数を8で割り,余りを求めよ.ただし,nは自然数である.
(1) 3^{2n}-1
(2) 3^{2n-1}+1
(3) 3^n

解答

2.B (お茶の水女子大)
nを正の整数とする.2^n+1は15で割り切れないことを示せ.

解答

3.(千葉大)
n^{2018}+2が6の倍数となるような,n \geqq 2017を満たす自然数nのうち,3番目に小さいものを求めよ.

4.B (日本医大)
nを自然数とするとき,次のことが成り立つことを証明せよ.
(1) 1111^n-1109^nは2で割り切れる.
(2) 11^n-8^n-3^nは24で割り切れる.
(3) 2450^n-1370^n+1150^n-250^nは1980で割り切れる.

解答

5.C (九州大)
(1) 2016と2^{2016}+1は互いに素であることを証明せよ.
(2) 2^{2016}+1を2016で割った余りを求めよ.
(3) 2^{2016}(2^{2016}+1)(2^{2016}+2)\cdots(2^{2016}+m)が2016の倍数となる最小の自然数mを求めよ.

解答

6.B (奈良県立医大)
自然数nに対し,S_n=1^n+2^n+3^n+4^nとおく.このとき,
(1) nが4の倍数でないとき,S_nは5の倍数であることを示せ.
(2) S_nが6の倍数であるための条件を求めよ.
(3) S_nは12の倍数にならないことを示せ.

解答

7.B (千葉大)
k,~m,~nを自然数とする.
(1) 2^kを7で割った余りが4であるとする.このとき,kを3で割った余りは2であることを示せ.
(2) 4m+5nが3で割り切れるとする.このとき,2^{mn}を7で割った余りは4ではないことを示せ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ