剰余の問題３

2016年10月12日2018年8月18日

次は $n$ 乗の剰余の問題です。

１．A (自治医大)
次の数を8で割り，余りを求めよ．ただし， $n$ は自然数である．
(1) $3^{2n}-1$
(2) $3^{2n-1}+1$
(3) $3^n$

２．B (お茶の水女子大)
$n$ を正の整数とする． $2^n+1$ は15で割り切れないことを示せ．

３．(千葉大)
$n^{2018}+2$ が6の倍数となるような， $n \geqq 2017$ を満たす自然数 $n$ のうち，3番目に小さいものを求めよ．

４．B (日本医大)
$n$ を自然数とするとき，次のことが成り立つことを証明せよ．
(1) $1111^n-1109^n$ は2で割り切れる．
(2) $11^n-8^n-3^n$ は24で割り切れる．
(3) $2450^n-1370^n+1150^n-250^n$ は1980で割り切れる．

→解答

５．C (九州大)
(1) 2016と $2^{2016}+1$ は互いに素であることを証明せよ．
(2) $2^{2016}+1$ を2016で割った余りを求めよ．
(3) $2^{2016}(2^{2016}+1)(2^{2016}+2)\cdots(2^{2016}+m)$ が2016の倍数となる最小の自然数 $m$ を求めよ．

→解答

６．B (奈良県立医大)
自然数 $n$ に対し， $S_n=1^n+2^n+3^n+4^n$ とおく．このとき，
(1) $n$ が4の倍数でないとき， $S_n$ は5の倍数であることを示せ．
(2) $S_n$ が6の倍数であるための条件を求めよ．
(3) $S_n$ は12の倍数にならないことを示せ．