剰余の問題4

2018年3月3日

3の続きです。

1.B (愛知教育大)
数列11,~1001,~100001,~10000001,~\cdotsについて考える.
(1) この数列の一般項(第n項)をnの式で表せ.
(2) この数列の項はみな11の倍数であることを証明せよ.
(3) この数列の中の7の倍数を一般的に表せ.

解答

次に回文数の問題です。

2.B (津田塾大)
(1) n=1,~2,~3,~4のとき,10^n-(-1)^nは11で割り切れることを示せ.
(2) 37273のように各桁の数字を逆順に並べ換えたとき,もとの数と同じになる自然数を回文数とよぶ.5桁の回文数abcbaが11で割り切れるための必要十分条件は,2a-2b+cが11で割り切れることであることを示せ.
(3) 11で割り切れる5桁の回文数のうちで最大のものと最小のものを求めよ.

解答

次にレピュニット数 (rep (繰り返し) unit (1)数)の問題を2つ。

3.B (津田塾大)
(1) 奇数の平方は8で割ると1余ることを示せ.
(2) 11,~111,~1111,~\cdotsのように数字1のみが並ぶ2桁以上の整数は平方数でないことを示せ.

解答

4.C (東京大)
自然数nに対し,\dfrac{10^n-1}{9}=111 \cdots 111 (n個)を(n)で表す.例えば(1)=1,~(2)=11,~(3)=111である.
(1) mを0以上の整数とする.(3^m)3^mで割り切れるが,3^{m+1}で割り切れないことを示せ.
(2) nが27で割り切れることが,(n)が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ.

解答

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