互いに素４

2016年10月12日2018年3月10日

次に対称式の場合です。

１．B
2つの整数 $a,~b$ に対して，次が成り立つことを示せ．
(1) $a,~b$ が互いに素ならば $a+b$ と $ab$ は互いに素
(2) $a+b$ と $ab$ が互いに素ならば $a,~b$ は互いに素

互いに素ではありませんが同様の問題です。

２．B (津田塾大)
$a,~b,~c$ を自然数とする．
(1) $ab,~a+b$ がともに偶数ならば， $a,~b$ はともに偶数であることを示せ．
(2) $abc,~ab+bc+ca,~a+b+c$ がすべて3の倍数ならば， $a,~b,~c$ はすべて3の倍数であることを示せ．

→解答

３．C (神戸大)
$p$ を3以上の素数， $a,~b$ を自然数とする．ただし，自然数 $m,~n$ に対し， $mn$ が $p$ の倍数ならば， $m$ または $n$ は $p$ の倍数であることを用いてよい．
(1) $a+b$ と $ab$ がともに $p$ の倍数であるとき， $a$ と $b$ はともに $p$ の倍数であることを示せ．
(2) $a+b$ と $a^2+b^2$ がともに $p$ の倍数であるとき， $a$ と $b$ はともに $p$ の倍数であることを示せ．
(3) $a^2+b^2$ と $a^3+b^3$ がともに $p$ の倍数であるとき， $a$ と $b$ はともに $p$ の倍数であることを示せ．

→解答

４．B (同志社大)
$p$ を3より大きい素数とする．自然数 $a,~b,~c$ に対し， $a+b+c,~a^2+b^2+c^2,~a^3+b^3+c^3$ がそれぞれ $p$ の倍数であるとき，次のことを証明せよ．
(1) $ab+bc+ca$ は $p$ の倍数である．
(2) $abc$ は $p$ の倍数である．
(3) $a,~b,~c$ はすべて $p$ の倍数である．

→解答

５．B (一橋大)
$p,~q$ は素数で， $p<q$ とする．
(1) $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}$ をみたす整数 $r$ は存在しないことを示せ．
(2) $\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}$ をみたす整数 $r$ が存在するのは， $p=2,~q=3$ のときに限ることを示せ．