互いに素4

2018年3月10日

次に対称式の場合です。

1.B
2つの整数a,~bに対して,次が成り立つことを示せ.
(1) a,~bが互いに素ならばa+babは互いに素
(2) a+babが互いに素ならばa,~bは互いに素

解答

互いに素ではありませんが同様の問題です。

2.B (津田塾大)
a,~b,~cを自然数とする.
(1) ab,~a+bがともに偶数ならば,a,~bはともに偶数であることを示せ.
(2) abc,~ab+bc+ca,~a+b+cがすべて3の倍数ならば,a,~b,~cはすべて3の倍数であることを示せ.

解答

3.C (神戸大)
pを3以上の素数,a,~bを自然数とする.ただし,自然数m,~nに対し,mnpの倍数ならば,mまたはnpの倍数であることを用いてよい.
(1) a+babがともにpの倍数であるとき,abはともにpの倍数であることを示せ.
(2) a+ba^2+b^2がともにpの倍数であるとき,abはともにpの倍数であることを示せ.
(3) a^2+b^2a^3+b^3がともにpの倍数であるとき,abはともにpの倍数であることを示せ.

解答

4.B (同志社大)
pを3より大きい素数とする.自然数a,~b,~cに対し,a+b+c,~a^2+b^2+c^2,~a^3+b^3+c^3がそれぞれpの倍数であるとき,次のことを証明せよ.
(1) ab+bc+capの倍数である.
(2) abcpの倍数である.
(3) a,~b,~cはすべてpの倍数である.

解答

5.B (一橋大)
p,~qは素数で,p<qとする.
(1) \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}をみたす整数rは存在しないことを示せ.
(2) \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r}をみたす整数rが存在するのは,p=2,~q=3のときに限ることを示せ.

解答

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