2元1次1

2018年8月18日

2元1次不定方程式の整数解を求める問題です。まずはax+by=cにおいて係数と定数項を共通な素因数でまとめられる場合から。

1.A ((3) 共立女子大)
(1) 5x+3y=0のすべての整数解を求めよ.
(2) 5x+3y=50のすべての整数解を求めよ.
(3) x,~yは正の整数で,5x+3y=50であるという.xyの値の組を求めよ.

解答

次は共通な素因数でまとめられない場合です。

2.A ((1) 慶応大 (2) 学習院大)
(1) 直線7x+9y=1上にあって,x,~yがともに整数であるような座標平面上の点(x,y)をすべて求めよ.
(2) 3で割ると1余り,5で割ると2余る正の整数の一般形を求めよ.

解答

係数や定数項が大きい場合どうすればよいでしょうか。

3.B ((1) 同志社大 (2) 大阪市立大 (3) 慶応大)
(1) 方程式4x+7y=97を満たす自然数の組(x,~y)をすべて求めよ.
(2) 方程式48x+539y=77を満たす整数解x,~yをすべて求めよ.
(3) 25m+17n=1623を満たす正の整数の組(m,n)を求めなさい.

解答

3と同様にもできますが誘導に従って素直にユークリッドの互除法を利用してやってみて下さい。現行のセンター試験でもよく出題されています。

4.B (名城大)
(1) 71と33が互いに素であることを示せ.
(2) 71x-33y=1を満たす整数x,~yの組を1つ求めよ.
(3) 71で割ると2余り,33で割ると7余る自然数のうち,4桁で最小のものを求めよ.

解答

5.(東京工業大)
(1) 35x+91y+65z=3を満たす整数の組(x,y,z)を1組求めよ.
(2) 35x+91y+65z=3を満たす整数の組(x,y,z)の中でx^2+y^2の値が最小となるもの,およびその最小値を求めよ.

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