2元1次４

2016年10月22日2018年2月9日

2元1次不定方程式の整数解は座標平面上の直線上の格子点です。それに関わる問題をいくつか。

１．B (金沢大)
座標平面上の点 $(x,y)$ は， $x,~y$ がともに整数のとき，格子点と呼ばれる．直線 $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{2}$ を $l$ とする．
(1) 直線 $l$ 上には，格子点が存在しないことを示せ．
(2) 直線 $l$ と格子点の距離の最小値を求めよ．
(3) 直線 $l$ との距離が最小となる格子点のうちで，原点に近いものから順に，3点求めよ．

→解答

２．B (大阪府立大)
$a,~b$ が整数である座標平面上の点 $(a,b)$ を格子点と呼ぶ． $l$ と $m$ を座標平面上の平行な直線とする．次の(1)と(2)を示せ．
(1) $l$ 上に格子点が2つ以上あるとき， $l$ 上には無限個の格子点がある．
(2) $l$ 上に無限個の格子点があるとき， $m$ 上には格子点がないか，または， $m$ 上には無限個の格子点がある．

→解答

３．C (東京大)
$xy$ 平面上， $x$ 座標， $y$ 座標がともに整数であるような点 $(m,n)$ を格子点とよぶ．各格子点を中心として半径 $r$ の円が描かれており，傾き $\dfrac{2}{5}$ の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという．このような性質をもつ実数 $r$ の最小値を求めよ．