2元1次4

2018年2月9日

2元1次不定方程式の整数解は座標平面上の直線上の格子点です。それに関わる問題をいくつか。

1.B (金沢大)
座標平面上の点(x,y)は,x,~yがともに整数のとき,格子点と呼ばれる.直線y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{2}lとする.
(1) 直線l上には,格子点が存在しないことを示せ.
(2) 直線lと格子点の距離の最小値を求めよ.
(3) 直線lとの距離が最小となる格子点のうちで,原点に近いものから順に,3点求めよ.

解答

2.B (大阪府立大)
a,~bが整数である座標平面上の点(a,b)を格子点と呼ぶ.lmを座標平面上の平行な直線とする.次の(1)と(2)を示せ.
(1) l上に格子点が2つ以上あるとき,l上には無限個の格子点がある.
(2) l上に無限個の格子点があるとき,m上には格子点がないか,または,m上には無限個の格子点がある.

解答

3.C (東京大)
xy平面上,x座標,y座標がともに整数であるような点(m,n)を格子点とよぶ.各格子点を中心として半径rの円が描かれており,傾き\dfrac{2}{5}の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという.このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ.

解答

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