積形を作る1

2018年3月16日

積形を作る問題です。整数問題を解く際、積形を作る、範囲を絞る、余りに注目するの3つの手段はとても有効です。

1.A ((1) 立教大 (2) 立命館大 (3) 日本大 (4) 上智大)
(1) 方程式xy=3x-2yをみたす正の整数の組(x,y)を求めよ.
(2) 2xy-2x-5y=0をみたす整数の組(x,y)を求めよ.
(3) 6mn+4m-3n-17=0の整数解を求めよ.
(4) 素数p,~q,~rに対して2p^3qr+19p^2q^2r-10pq^3r=111111が成り立つとき,p,~q,~rを求めよ.

解答

2.B (名古屋大)
x,~yを正の整数とする.
(1) \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}を満たす組(x,y)をすべて求めよ.
(2) pを3以上の素数とする.\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{p}を満たす組(x,y)のうち,2x+3yを最小にする(x,y)を求めよ.

解答

3.C (一橋大)
1つの角が120°の三角形がある.この三角形の3辺の長さx,~y,~zx<y<zを満たす整数である.
(1) x+y-z=2を満たすx,~y,~zの組をすべて求めよ.
(2) x+y-z=3を満たすx,~y,~zの組をすべて求めよ.
(3) a,~bを0以上の整数とする.x+y-z=2^a3^bを満たすx,~y,~zの組の個数をabの式で表せ.

解答

3文字になると解き方も変わってきます。

4.B (大分大)
(1) 6(x-y)=xyを満たす自然数の組x,~yをすべて求めよ.
(2) 7(x+y+z)=2(xy+yz+zx)を満たす自然数の組x,~y,~z~(x \leqq y \leqq z)のすべてを求めよ.

解答

5.B (大阪大)
l,~m,~nを3以上の整数とする.等式\left(\dfrac{n}{m}-\dfrac{n}{2}+1\right)l=2を満たすl,~m,~nの組をすべて求めよ.

解答

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