積形を作る2

2018年3月16日

x^2-y^2=n型の問題です。

1.A ((1) 学習院大 (2) 法政大 (3) 東京医科歯科大)
(1) 等式m^2-n^2=364を満たす自然数m,~nの組をすべて求めよ.
(2) m,~nが整数であるとき,m^4-n^4=369をみたすようなm,~nを求めよ.
(3) \sqrt{c^2+72}が整数となるような正の整数cをすべて求めよ.

解答

次にx^2-y^2=n型の一般的な理論の問題です。

2.B (静岡大)
(1) 整数x,~yx > y \geqq 0を満たすとき,x^2-y^2は4の倍数または,奇数であることを示せ.
(2) nを自然数とする.
(ⅰ) n=4,~8,~12のとき,n=x^2-y^2を満たす整数x,~y~(x>y \geqq 0)をそれぞれ1組ずつ求めよ.
(ⅱ) nが4の倍数のとき,n=x^2-y^2を満たす整数x,~y~(x>y \geqq 0)があることを示せ.
(3) nを自然数とする.
(ⅰ) n=3,~5,~7のとき,n=x^2-y^2を満たす整数x,~y~(x>y \geqq 0)をそれぞれ1組ずつ求めよ.
(ⅱ) nが奇数のとき,n=x^2-y^2を満たす整数x,~y~(x>y \geqq 0)があることを示せ.

解答

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