積形を作る２

2016年10月22日2018年3月16日

$x^2-y^2=n$ 型の問題です。

１．A ((1) 学習院大　(2) 法政大　(3) 東京医科歯科大)
(1) 等式 $m^2-n^2=364$ を満たす自然数 $m,~n$ の組をすべて求めよ．
(2) $m,~n$ が整数であるとき， $m^4-n^4=369$ をみたすような $m,~n$ を求めよ．
(3) $\sqrt{c^2+72}$ が整数となるような正の整数 $c$ をすべて求めよ．

→解答

次に $x^2-y^2=n$ 型の一般的な理論の問題です。

２．B (静岡大)
(1) 整数 $x,~y$ が $x > y \geqq 0$ を満たすとき， $x^2-y^2$ は4の倍数または，奇数であることを示せ．
(2) $n$ を自然数とする．
(ⅰ) $n=4,~8,~12$ のとき， $n=x^2-y^2$ を満たす整数 $x,~y~(x>y \geqq 0)$ をそれぞれ1組ずつ求めよ．
(ⅱ) $n$ が4の倍数のとき， $n=x^2-y^2$ を満たす整数 $x,~y~(x>y \geqq 0)$ があることを示せ．
(3) $n$ を自然数とする．
(ⅰ) $n=3,~5,~7$ のとき， $n=x^2-y^2$ を満たす整数 $x,~y~(x>y \geqq 0)$ をそれぞれ1組ずつ求めよ．
(ⅱ) $n$ が奇数のとき， $n=x^2-y^2$ を満たす整数 $x,~y~(x>y \geqq 0)$ があることを示せ．

→解答

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Posted by 山彦のフドウ

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