積形を作る4

2018年3月16日

x^3 \pm y^3=n型の問題です。(3)はラマヌジャンのタクシー数に関わる問題です。

1.B ((1) 明治大 (2) 京都大 (3) 一橋大)
(1) x,~yを整数としてx^3+y^3=91を満たすx,~yの組をすべて求めよ.
(2) a^3-b^3=217を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ.
(3) 2以上の整数m,~nm^3+1^3=n^3+10^3を満たす.m,~nを求めよ.

解答

次は、フェルマーの最終定理に関する問題です。フェルマーの最終定理とはx^n+y^n=z^n~(n \geqq 3)のとき、これを満たす自然数の組(x,y,z)は存在しないという定理です。n=2のときはピタゴラスの定理です。17世紀にフェルマーにより見出された問題です。フェルマーは「この定理に関して私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。」とした問題です。1993年にアンドリュー・ワイルズにより解決されました。この定理を証明するのには日本人が大きく関わっています。ある程度条件を絞れば高校生にも解けるような問題になります。

2.B (島根大)
(1) n^3+1=pをみたす自然数nと素数pの組をすべて求めよ.
(2) n^3+1=p^2をみたす自然数nと素数pの組をすべて求めよ.
(3) n^3+1=p^3をみたす自然数nと素数pの組は存在しないことを証明せよ.

解答

3.B (立教大)
pを素数とするとき,
(1) x^3+y^3を因数分解せよ.
(2) 正の整数m,~nm^3+n^3=pを満たすとき,m+npを用いて表せ.
(3) (2)のm,~nについて,mnpを用いて表せ.
(4) (2)のm,~nについて,(m-n)^2pを用いて表せ.
(5) m^3+n^3=pをなるような正の整数m,~nと素数pの組(m,n,p)をすべて求めよ.

解答

4.B (早稲田大)
x,~yを自然数,pを3以上の素数とするとき,
(1) x^2-y^2=pが成り立つとき,x,~ypで表せ.
(2) x^3-y^3=pが成り立つとき,pを6で割った余りが1となることを証明せよ.
(3) x^3-y^3=pが自然数の解の組(x,y)をもつようなpを,小さい方から順にp_1,~p_2,~p_3,~\cdotsとするとき,p_5の値を求めよ.

解答

5.B (千葉大)
自然数x,~yを用いてp^2=x^3+y^3と表せるような素数pをすべて求めよ.また,このときのx,~yをすべて求めよ.

解答

6.B (同志社大)
(1) m,~n~(m>n)を自然数とするとき,不等式m^2-mn+n^2 \geqq m+nが成立することを示せ.
(2) pを素数とするとき,m^3+n^3=p^3を満たす自然数m,~nが存在しないことを証明せよ.

解答

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