範囲を絞る1

2018年3月19日

次は範囲を絞って解く問題です。

1.B (横浜国立大)
(1) x^2-y^2=2009をみたす正の整数x,~yの組をすべて求めよ.
(2) x^2+y^2=41を満たす正の整数の組をすべて求めよ.
(3) 式(ac-bd)^2+(ad+bc)^2を因数分解せよ.
(4) nを正の整数とする.x^2+y^2=2009^nをみたす正の整数x,~yが存在することを示せ.

解答

2.B (慶応大)
(1) xを自然数とする.このとき,x^2を4で割ったときの余りは,xが偶数のときは0であり,xが奇数のときは1であることを証明せよ.
(2) 自然数の組(x,y)について,5x^2+y^2が4の倍数ならば,x,~yはともに偶数であることを証明せよ.
(3) 自然数の組(x,y)5x^2+y^2=2016を満たすものをすべて求めよ.

解答

3.B ((1) 立命館大 (2) 慶応大 (3) 愛媛大 (4) 京都大)
(1) 55x^2+2xy+y^2=2007を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ.
(2) 3x^2-2xy+2y^2=2010を満たす自然数の組(x,y)を求める.このとき,(~~~~~)x^2+((~~~~~)x-(~~~~~)y)^2=4020などを利用すると見つけやすい.自然数の組(x,y)をすべて求めよ.
(3) 等式3x^2+y^2+5z^2-2yz-12=0を満たす整数の組(x,y,z)をすべて求めよ.
(4) 方程式x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0をみたす正の整数の組(x,y,z)をすべて求めよ.

解答

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