余りに注目

2018年3月19日

次は余りに注目して解く問題です。

1.B (東京都立大)
(1) yが整数のとき,y^2+2は5で割り切れないことを示せ.
(2) 5x^2-2y^2=4を満たす整数x,~yは存在しないことを示せ.

解答

2.C (千葉大)
(1) 2x^2-y^2=9を満たす整数x,~yは3の倍数であることを証明せよ.
(2) 21x^2-10y^2=9を満たす整数x,~yは存在しないことを証明せよ.

解答

3.B (青山学院大)
(1) 任意の整数mに対して,m^2を3で割った余りは2にならないことを示せ.
(2) y^2=x^3-x+2を満たす整数の組(x,y)は存在するかしないかを判定せよ.

解答

4.B (岩手大)
(1) xが整数のとき,x^2を5で割ったときの余りは0, 1, 4のいずれかであることを証明せよ.
(2) xが整数のとき,x^4を5で割ったときの余りは0か1のいずれかであることを証明せよ.
(3) 方程式x^4-5y^4=2を満たすような整数の組(x,y)は存在しないことを証明せよ.

解答

5.B (日本医大)
(1) m!=n^2-3を満たす正の整数の組(m,n)を2組求めよ.
(2) mm \geqq 4を満たす整数のとき,m!+2は4の倍数とはならないことを示せ.
(3) m!=n^2-3を満たす正の整数の組(m,n)は,(1)で求めたもの以外に存在しないことを示せ.

解答

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