範囲を絞る３

2016年10月22日2018年3月19日

不等式によって範囲を絞る問題です。

１．B (青山学院大)
$a,~b,~c$ は自然数であり，かつ $4 \leqq a \leqq b \leqq c$ とする．等式
$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
が成立するとき，
(1) $a \leqq 6$ であることを示せ．
(2) このような $a,~b,~c$ の組 $(a,b,c)$ をすべて求めよ．

→解答

２．B (東京都立大)
$x,~y,~z$ は自然数で， $x \leqq y \leqq z$ とする．
(1) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ をみたす $x,~y,~z$ の値をすべて求めよ．
(2) $x,~y,~z$ で不等式 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}<1$ をみたすとき， $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ の最大値および最大値を与える $x,~y,~z$ の値を求めよ．

→解答

次の2つはこのタイプの不定方程式の整数解の個数が有限個であることを示す問題です。やった経験がないと厳しいかもしれません。たまに見かけます。

３．B (信州大)
(1) 式 $1=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}$ を満たす自然数の組 $(a_1,a_2,a_3)$ で， $1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$ となるものをすべて求めよ．
(2) $r$ を正の有理数とする．式 $r=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}$ を満たす自然数の組 $(a_1,a_2,a_3)$ で， $1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$ となるものは有限個しかないことを証明せよ．ただし，そのような組が存在しない場合は0個とし，有限個であるとみなす．

→解答

４．C (東京工業大)
(1) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}$ をみたす自然数 $x,~y$ の組 $(x,y)$ をすべて求めよ．
(2) $n$ を自然数， $r$ を正の有理数とする．このとき， $\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_k}=r$ をみたす自然数 $x_k$ の組 $(x_1,\cdots,x_n)$ の個数は有限であることを示せ．