範囲を絞る4

2018年3月19日

3の続きです。次もよくあるパターンです。n個の自然数の積と和が等しいときのn個の自然数を求める問題です。n=3,~4,~5,~6までは見たことがあります。

1.B (東京女子大)
(1) a,~b,~cが整数で,1 \leqq a \leqq b \leqq cかつabc=a+b+cのとき,ab \leqq 3であることを示せ.
(2) 1 \leqq a \leqq b \leqq cかつabc=a+b+cを満たす整数a,~b,~cをすべて求めよ.

解答

2.B (東京工業大)
2以上の整数nに対して方程式x_1+x_2+\cdots+x_n=x_1x_2\cdots x_nの正の整数解(x_1,x_2\cdots,x_n)を考える.ただし,たとえば(1,2,3)(3,2,1)は異なる解とみなす.
(1) n=2およびn=3のときの解をすべて求めよ.
(2) 解が1つしかないようなnをすべて求めよ.
(3) 任意のnに対して解は少なくとも1つ存在し,かつ有限個しかないことを示せ.

解答

3.B (大阪歯科大)
a,~b,~cは,1<a<b<cを満たす整数とし,(ab-1)(bc-1)(ca-1)は,abcで割り切れるとする.
(1) ab+bc+ca-1は,abcで割り切れることを示せ.
(2) a,~b,~cを求めよ.

解答

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