範囲を絞る４

2016年10月22日2018年3月19日

３の続きです。次もよくあるパターンです。 $n$ 個の自然数の積と和が等しいときの $n$ 個の自然数を求める問題です。 $n=3,~4,~5,~6$ までは見たことがあります。

１．B (東京女子大)
(1) $a,~b,~c$ が整数で， $1 \leqq a \leqq b \leqq c$ かつ $abc=a+b+c$ のとき， $ab \leqq 3$ であることを示せ．
(2) $1 \leqq a \leqq b \leqq c$ かつ $abc=a+b+c$ を満たす整数 $a,~b,~c$ をすべて求めよ．

→解答

２．B (東京工業大)
2以上の整数 $n$ に対して方程式 $x_1+x_2+\cdots+x_n=x_1x_2\cdots x_n$ の正の整数解 $(x_1,x_2\cdots,x_n)$ を考える．ただし，たとえば $(1,2,3)$ と $(3,2,1)$ は異なる解とみなす．
(1) $n=2$ および $n=3$ のときの解をすべて求めよ．
(2) 解が1つしかないような $n$ をすべて求めよ．
(3) 任意の $n$ に対して解は少なくとも1つ存在し，かつ有限個しかないことを示せ．