範囲を絞る5

2018年4月8日

その他気になる問題をいくつか。

1.B (東京大)
n,~a,~b,~c,~dは0または正の整数であって
a^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6\cdots
a+b+c+d \leqq n\cdots
a \geqq b \geqq c \geqq d\cdots
を満たすものとする.このような整数(n,a,b,c,d)を求めよ.

解答

2.B (京都大)
pを3以上の素数とする.4個の整数a,~b,~c,~dが次の3条件
a+b+c+d=0,~ad-bc+p=0,~a \geqq b \geqq c \geqq d
を満たすとき,a,~b,~c,~dpを用いて表せ.

解答

3.B (一橋大)
正の整数の組(m,n)で条件0<\left|\dfrac{n}{m}-0.4\right| \leqq \dfrac{1}{100}を満たすもののうち,mが最も小さい(m,n)を求めよ.

解答

4.C (大阪大)
a,~bを自然数とし,不等式\left|\dfrac{a}{b}-\sqrt{7}\right|<\dfrac{2}{b^4}\cdots(\mbox{A})を考える.次の問いに答えよ.ただし,2.645<\sqrt{7}<2.646であること,\sqrt{7}が無理数であることを用いてよい.
(1) 不等式(A)を満たしb \geqq 2である自然数a,~bに対して\left|\dfrac{a}{b}+\sqrt{7}\right|<6であることを示せ.
(2) 不等式(A)を満たす自然数a,~bの組のうち,b \geqq 2であるものをすべて求めよ.

解答

5.B (一橋大)
(1) 自然数x,~yは,1<x<yおよび
\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{5}{3}
をみたす.x,~yの組をすべて求めよ.
(2) 自然数x,~y,~zは,1<x<y<zおよび
\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{12}{5}
をみたす.x,~y,~zの組をすべて求めよ.

解答

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