その他

2018年8月18日

指数関数を含む不定方程式について。

1.B (兵庫県立大)
正整数aと正の奇数p,~q2^a+p^2=q^4を満たしているとする.このとき
(1) q^2-p=2を証明せよ.
(2) qをすべて求めよ.

解答

2.C (千葉大)
(1) 3^n=k^3+1を満たす正の整数の組(k,n)をすべて求めよ.
(2) 3^n=k^2-40を満たす正の整数の組(k,n)をすべて求めよ.

解答

3.B (京都大)
nを4以上の自然数とする.数2,~12,~1331がすべてn進法で表記されているとして,2^{12}=1331が成り立っている.このときnはいくつか.十進法で答えよ.

解答

4.(東北大)
整数a,~bは等式3^a-2^b=1 \cdots①を満たしているとする.
(1) a,~bはともに正となることを示せ.
(2) b>1ならば,aは偶数であることを示せ.
(3) ①を満たす整数の組(a,b)をすべてあげよ.

5.B (一橋大)
6 \cdot 3^{3x}+1=7 \cdot 5^{2x}を満たす0以上の整数xをすべて求めよ.

解答

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