ペル方程式

2018年2月15日

ペル方程式の問題です。

1.B (お茶の水女子大)
(1) 等式(x^2-ny^2)(z^2-nt^2)=(xz+nyt)^2-n(xt+yz)^2を示せ.
(2) x^2-2y^2=-1の自然数解(x,y)が無限組であることを示し,x>100となる解を1組求めよ.

解答

次はペル方程式の解の構造の問題です。やったことがないと厳しいかもしれません。1度は経験しておくとよいと思います。大学で学ぶ行列を学んでいるともっと理解が深まるかもしれませんが、現課程では範囲外なので仕方がないです。

2.C (滋賀医大)
xy平面上の2曲線C_+C_-を次の式で定義する.
C_+:x^2-2y^2=1~(x>0,~y>0)
C_-:x^2-2y^2=-1~(x>0,~y>0)
また,点P(x,y)に対して点Q(u,v)\left\{\begin{array}{l} u=-x+2y\\ v=x-y \end{array}\right.で定める.
点P(x,y)x,~yがともに整数であるとき整数点という.
(1) P(x,y)が曲線C_+上の整数点ならばQ(u,v)は曲線C_-上の整数点であり,P(x,y)が曲線C_-上の整数点ならば,x=y=1の場合を除いて,Q(u,v)は曲線C_+上の整数点であることを示せ.
(2) P(x,y)C_+またはC_-上の整数点でy \ne 1ならば0<v<yであることを示せ.
(3) (\sqrt{2}+1)^n=x_n+y_n\sqrt{2} (x_n,~y_nは整数,nは自然数)と表す.\mbox{P}_n(x_n,y_n)は曲線C_+またはC_-上にあることを示せ.
(4) 曲線C_+またはC_-上の整数点は\mbox{P}_n(x_n,y_n) (nは自然数)に限ることを示せ.

解答

3.C (東京工業大)
2つの条件
(イ) a^2-2b^2=1またはa^2-2b^2=-1
(ロ) a+\sqrt{2}b>0
を満たす任意の整数a,~bから得られる実数g=a+\sqrt{2}b全体の集合をGとする.1より大きいGの元のうち最小のものをuとする.
(1) uを求めよ.
(2) 整数nGの元gに対し,gu^nGの元であることを示せ.
(3) Gの任意の元gは適当な整数mによって,g=u^mと書かれることを示せ.

解答

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