無限降下法

2018年3月22日

最後にフェルマーの無限降下法の問題です。フェルマーはこの方法がとてもお気に入りだったようです。慣れればそう難しくはありません。

1.B (九州大)
(1) 任意の自然数aに対し,a^2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ.
(2) 自然数a,~b,~ca^2+b^2=3c^2を満たすと仮定すると,a,~b,~cはすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ.
(3) a^2+b^2=3c^2を満たす自然数a,~b,~cは存在しないことを証明せよ.

解答

2.B (首都大)
2以上の自然数nに対して方程式x^n+2y^n=4z^n \cdots (*)を考える.
(1) n=2のとき,(*)を満たす自然数x,~y,~zの例を与えよ.
(2) n \geqq 3のとき,(*)を満たす自然数x,~y,~zが存在しないことを示せ.

解答

3.B (お茶の水女子大)
a,~b,~cは整数で,a^3+2b^3+4c^3=2abcとする.
(1) a,~b,~cはいずれも偶数であることを示せ.
(2) a=b=c=0であることを示せ.

解答

4.B (明治大)
以下を示せ.
(1) 整数aが3の倍数でなければa^2を3で割った余りは1である.
(2) a^2-2b^2が3の倍数であるような整数a,~bはともに3の倍数である.
(3) a^2-2b^2+3c^2-6d^2=0を満たす整数a,~b,~c,~da=b=c=d=0のみである.

解答

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