無限降下法

2016年10月22日2018年3月22日

最後にフェルマーの無限降下法の問題です。フェルマーはこの方法がとてもお気に入りだったようです。慣れればそう難しくはありません。

１．B (九州大)
(1) 任意の自然数 $a$ に対し， $a^2$ を3で割った余りは0か1であることを証明せよ．
(2) 自然数 $a,~b,~c$ が $a^2+b^2=3c^2$ を満たすと仮定すると， $a,~b,~c$ はすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3) $a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,~b,~c$ は存在しないことを証明せよ．

→解答

２．B (首都大)
2以上の自然数 $n$ に対して方程式 $x^n+2y^n=4z^n \cdots (*)$ を考える．
(1) $n=2$ のとき， $(*)$ を満たす自然数 $x,~y,~z$ の例を与えよ．
(2) $n \geqq 3$ のとき， $(*)$ を満たす自然数 $x,~y,~z$ が存在しないことを示せ．

→解答

３．B (お茶の水女子大)
$a,~b,~c$ は整数で， $a^3+2b^3+4c^3=2abc$ とする．
(1) $a,~b,~c$ はいずれも偶数であることを示せ．
(2) $a=b=c=0$ であることを示せ．

→解答

４．B (明治大)
以下を示せ．
(1) 整数 $a$ が3の倍数でなければ $a^2$ を3で割った余りは1である．
(2) $a^2-2b^2$ が3の倍数であるような整数 $a,~b$ はともに3の倍数である．
(3) $a^2-2b^2+3c^2-6d^2=0$ を満たす整数 $a,~b,~c,~d$ は $a=b=c=d=0$ のみである．