ガウス記号1

2018年4月8日

ガウス記号の問題です。

1.B (早稲田大)
(1) 不等式\dfrac{1995}{n}-\dfrac{1995}{n+1} \geqq 1を満たす最大の正の整数nを求めよ.
(2) 次の1995個の整数の中に異なる整数は何個あるか.その個数を求めよ.
\left[\dfrac{1995}{1}\right],~\left[\dfrac{1995}{2}\right],~\left[\dfrac{1995}{3}\right],~\cdots,~\left[\dfrac{1995}{1994}\right],~\left[\dfrac{1995}{1995}\right]
ここに,[x]は,xを超えない最大の整数を表す(たとえば,[2]=2,~[2.7]=2).

解答

2.B (東京工業大)
実数aに対して,aを超えない最大の整数を[a]で表す.10000以下の正の整数n[\sqrt{n}]nの約数となるものは何個あるか.

解答

3.B (早稲田大)
正の整数nに対して,p_n=[\sqrt[3]{n}]とする.ただし,実数xに対し,[x]x以下の最大の整数を表す.例えば,[1.5]=1,~[3]=3である.
(1) [\sqrt[3]{n}]=2となる正の整数nで,4の倍数であるものをすべて求めよ.
(2) 10^6以下の正の整数nで,{p_n}^2の倍数であるものの個数を求めよ.
(3) 正の整数nに対して,整数q_n
n{p_n}^2の倍数でないとき,0
n{p_n}^2の倍数であるとき,np_n(p_n+1)で割ったときの余り
と定義する.S={\displaystyle\sum_{n=1}^{10^6}}q_n=q_1+q_2+q_3+\cdots+q_{10^6}を求めよ.

解答

4.B (早稲田大)
正の整数nに対して,整数f(n)f(n)=\left[\dfrac{n}{[\sqrt{n}]}\right]で定義する.ただし,[x]x以下の最大の整数を表す.
例えば[2]=2,~[3.8]=3,~\left[\dfrac{7}{\sqrt{7}}\right]=\left[\dfrac{7}{2}\right]=3である.
(1) f(n)=5となるnの最小値と最大値を求めよ.
(2) f(n)>f(n+1)を満たす2007以下の正の整数nの個数を求めよ.

解答

最後に理系の人は次の2題を考えてみて下さい。

5.B (名古屋大)
x>0とし,f(x)=\log x^{100}とおく.
(1) 次の不等式を証明せよ.
\dfrac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\dfrac{100}{x}
(2) 実数aの整数部分 (k \leqq a <k+1となる整数k)を[a]で表す.整数[f(1)],~[f(2)],~[f(3)],~\cdots,~[f(1000)]のうちで異なるものの個数を求めよ.必要ならば,\log 10=2.3026として計算せよ.

解答

6.C (東京大)
実数aに対してk \leqq a<k+1をみたす整数k[a]で表す.nを正の整数として,f(x)=\dfrac{x^2(2 \cdot 3^3 \cdot n-x)}{2^5 \cdot 3^3 \cdot n^2}とおく.36n+1個の整数[f(0)],~[f(1)],~[f(2)],~\cdots,~[f(36n)]のうち相異なるものの個数をnを用いて表せ.

解答

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