ガウス記号４

2016年10月23日2018年4月8日

さらにガウス記号に慣れましょう。ガウス記号が複数ある場合の扱いです。

１．B (東京理科大)
$x$ を実数として，関数 $f(x)=[x]+[2(x-[x])]$ を考える．ただし，実数 $x$ に対して $[x]$ は， $n \leqq x$ となるような最大の整数 $n$ を表す．
(1) $f(3.4),~f(3.7)$ の値を求めよ．
(2) $f(x)=3$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ．
(3) $f(x)+f(2x)=10$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ．

→解答

２．B (東京理科大)
$x \geqq 0$ のとき，関数 $f(x)$ を次のように定める．
$f(x)=[2x]+[4x]+[6x]$
ここで，実数 $a$ に対して $[a]$ は $a$ を超えない最大の整数を表す．
(1) $x$ が $0 \leqq x \leqq 1$ を動くとき， $f(x)$ のとりうる値は(　　)通りある．
(2) $x \geqq 0$ のとき， $f(x+1)=f(x)+(~~~~~)$ である．
(3) 0から100までの整数で，関数 $f(x)$ の値になりうるものの個数は(　　)である．

→解答

３．B (奈良女子大)
実数 $x$ に対して，その整数部分を $[x]$ で表す．すなわち， $[x]$ は不等式 $[x] \leqq x<[x]+1$ を満たす整数である．
(1) 実数 $x$ に対して，等式 $[x]+\left[x+\dfrac{1}{3}\right]+\left[x+\dfrac{2}{3}\right]=[3x]$ を示せ．
(2) 正の整数 $n$ ，実数 $x$ に対して，等式
$[x]+\left[x+\dfrac{1}{n}\right]+\left[x+\dfrac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\dfrac{n-1}{n}\right]=[nx]$
を示せ．