ガウス記号５

2016年10月23日2018年4月8日

ガウス記号と有理数、無理数の絡んだ問題です。

１．B (北海道大)
実数 $x$ に対し， $x$ 以下の整数のうちで最大のものを $[x]$ と書くことにする． $c>1$ として， $a_n=\dfrac{[nc]}{c}~(n=1,~2,~\cdots)$ とおく．以下を証明せよ．
(1) すべての $n$ に対して， $[a_n]$ は $n$ または $n-1$ に等しい．
(2) $c$ が有理数のときは， $[a_n]=n$ となる $n$ が存在する．
(3) $c$ が無理数のときは，すべての $n$ に対して $[a_n]=n-1$ となる．

→解答

２．B (慶応大)
実数 $x$ に対し， $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す．
(1) 正の実数 $a$ と自然数 $m$ に対し，不等式 $\dfrac{[ma]}{a} \leqq m<\dfrac{[ma]+1}{a}$ を示せ．
(2) 正の実数 $a$ と $b$ が $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$ を満たし，さらに，ある自然数 $m$ と $n$ に対し $[ma]=[nb]$ が成り立つならば， $a$ と $b$ はともに有理数であることを証明せよ．

→解答

３．C (京都府立大)
$\alpha,~\beta$ を正の無理数とする．2つの集合 $A,~B$ を
$A=\{[n\alpha]~|~n=1,~2,~3,~\cdots\}$
$B=\{[n\beta]~|~n=1,~2,~3,~\cdots\}$
で定める．集合 $C$ を $A$ と $B$ の共通部分とする．集合 $D$ を $A$ と $B$ の和集合とする． $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=1$ のとき，次の問いに答えよ．ただし，実数 $x$ に対して， $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ と表す．
(1) $C$ は空集合となることを示せ．
(2) $E=\{n~|~n=1,~2,~3,~\cdots,~99\}$ のとき， $E$ は $D$ の部分集合となることを示せ．