ガウス記号5

2018年4月8日

ガウス記号と有理数、無理数の絡んだ問題です。

1.B (北海道大)
実数xに対し,x以下の整数のうちで最大のものを[x]と書くことにする.c>1として,a_n=\dfrac{[nc]}{c}~(n=1,~2,~\cdots)とおく.以下を証明せよ.
(1) すべてのnに対して,[a_n]nまたはn-1に等しい.
(2) cが有理数のときは,[a_n]=nとなるnが存在する.
(3) cが無理数のときは,すべてのnに対して[a_n]=n-1となる.

解答

2.B (慶応大)
実数xに対し,xを超えない最大の整数を[x]で表す.
(1) 正の実数aと自然数mに対し,不等式\dfrac{[ma]}{a} \leqq m<\dfrac{[ma]+1}{a}を示せ.
(2) 正の実数ab\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1を満たし,さらに,ある自然数mnに対し[ma]=[nb]が成り立つならば,abはともに有理数であることを証明せよ.

解答

3.C (京都府立大)
\alpha,~\betaを正の無理数とする.2つの集合A,~B
A=\{[n\alpha]~|~n=1,~2,~3,~\cdots\}
B=\{[n\beta]~|~n=1,~2,~3,~\cdots\}
で定める.集合CABの共通部分とする.集合DABの和集合とする.\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=1のとき,次の問いに答えよ.ただし,実数xに対して,xを超えない最大の整数を[x]と表す.
(1) Cは空集合となることを示せ.
(2) E=\{n~|~n=1,~2,~3,~\cdots,~99\}のとき,EDの部分集合となることを示せ.

解答

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