ガウス記号3

2018年4月8日

ガウス記号と数列の問題の続きです。

1.C (早稲田大)
a_{n+1}=a_n-[\sqrt{a_n}]~(n \geqq 0)
ただし[x]xを超えない最大の整数を表す.
(1) a_0=24とする.このとき,a_n=0となる最小のnを求めよ.
(2) mを2以上の整数とし,a_0=m^2とする.このとき,1 \leqq j \leqq mをみたすjに対してa_{2j-1},~a_{2j}jmで表せ.
(3) mを2以上の整数,p1 \leqq p \leqq m-1を満たす整数とし,a_0=m^2-pとする.このとき,a_k=(m-p)^2となるkを求めよ.さらに,a_n=0となる最小のnを求めよ.

解答

2.C (千葉大)
Nを自然数とする.
a_1=N,~a_{n+1}=\left[\dfrac{1}{2}\left(a_n+\left[\dfrac{N}{a_n}\right]\right)\right]~(n=1,~2,~3,~\cdots)
で定まる数列\{a_n\}について以下の問いに答えよ.ここで[x]xを超えない最大の整数を表す.
(1) a_n \geqq [\sqrt{N}]を証明せよ.
(2) a_n \leqq a_{n+1}ならばa_n=[\sqrt{N}]であることを証明せよ.

解答

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