ガウス記号6

2018年4月8日

最後に小数部分の問題です。

1.B (関西大)
正の数pに対して,pの整数部分,小数部分をそれぞれ[p],〈p〉で表す.例えば,[3.14]=3,〈3.14〉=0.14, [2]=2, 〈2〉=0, [0.5]=0, 〈0.5〉=0.5である.
自然数nに対して,xの2次方程式x^2-nx-1=0の解で正のものを\alphaとする.
(1) \alphaを求めよ.
(2) [\alpha],〈\alpha〉を求めよ.
(3) \left[\dfrac{1}{\alpha}\right],~\left<\dfrac{1}{\alpha}\right>,~\left[\dfrac{1}{<\alpha>}\right],~\left<\dfrac{1}{<\alpha>}\right>を求めよ.

解答

2.B (早稲田大)
実数xに対して,x以下の最大の整数を[x]で表す.
(1) \dfrac{14}{3}<x<5のとき,\left[\dfrac{3}{7}x\right]-\left[\dfrac{3}{7}[x]\right]の値を求めよ.
(2) すべての実数xについて,\left[\dfrac{1}{2}x\right]-\left[\dfrac{1}{2}[x]\right]=0を示せ.
(3) nを正の整数とする.実数xについて,\left[\dfrac{1}{n}x\right]-\left[\dfrac{1}{n}[x]\right]の値を求めよ.

解答

3.B (茨城大)
正の実数xの小数部分 (xからxを超えない最大の整数を引いたもの)を\{x\}で表すとき,次の(1), (2)を証明せよ.
(1) mが正の整数のとき,
\left\{\dfrac{1}{m}\right\},~\left\{\dfrac{2}{m}\right\},~\left\{\dfrac{3}{m}\right\},~\cdots,~\left\{\dfrac{n}{m}\right\},~\cdots
の中には相異なる数は有限個しかない.
(2) aが無理数のとき,
\{a\},~\{2a\},~\{3a\},~\cdots,~\{na\},~\cdots
はすべて異なる.

解答

4.C (東京大)
実数xの小数部分を,0 \leqq y<1かつx-yが整数となる実数yのこととし,これを記号〈x〉で表す.実数aに対して,無限数列\{a_n\}の各項a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)を次のように順次定める.
(ⅰ) a_1=a
(ⅱ) a_n \ne 0のとき,a_{n+1}=\left<\dfrac{1}{a_n}\right>
a_n=0のとき,a_{n+1}=0
(1) a=\sqrt{2}のとき,数列\{a_n\}を求めよ.
(2) 任意の自然数nに対してa_n=aとなるような\dfrac{1}{3}以上の実数aをすべて求めよ.
(3) aが有理数であるとする.aを整数pと自然数qを用いてa=\dfrac{p}{q}と表すとき,q以上のすべての自然数nに対して,a_n=0であることを示せ.

解答

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