ガウス記号６

2016年10月23日2018年4月8日

最後に小数部分の問題です。

１．B (関西大)
正の数pに対して，pの整数部分，小数部分をそれぞれ[p],〈p〉で表す．例えば，[3.14]=3,〈3.14〉=0.14, [2]=2, 〈2〉=0, [0.5]=0, 〈0.5〉=0.5である．
自然数 $n$ に対して， $x$ の2次方程式 $x^2-nx-1=0$ の解で正のものを $\alpha$ とする．
(1) $\alpha$ を求めよ．
(2) [ $\alpha$ ],〈 $\alpha$ 〉を求めよ．
(3) $\left[\dfrac{1}{\alpha}\right],~\left<\dfrac{1}{\alpha}\right>,~\left[\dfrac{1}{<\alpha>}\right],~\left<\dfrac{1}{<\alpha>}\right>$ を求めよ．

→解答

２．B (早稲田大)
実数 $x$ に対して， $x$ 以下の最大の整数を $[x]$ で表す．
(1) $\dfrac{14}{3}<x<5$ のとき， $\left[\dfrac{3}{7}x\right]-\left[\dfrac{3}{7}[x]\right]$ の値を求めよ．
(2) すべての実数 $x$ について， $\left[\dfrac{1}{2}x\right]-\left[\dfrac{1}{2}[x]\right]=0$ を示せ．
(3) $n$ を正の整数とする．実数 $x$ について， $\left[\dfrac{1}{n}x\right]-\left[\dfrac{1}{n}[x]\right]$ の値を求めよ．

→解答

３．B (茨城大)
正の実数 $x$ の小数部分 ( $x$ から $x$ を超えない最大の整数を引いたもの)を $\{x\}$ で表すとき，次の(1), (2)を証明せよ．
(1) $m$ が正の整数のとき，
$\left\{\dfrac{1}{m}\right\},~\left\{\dfrac{2}{m}\right\},~\left\{\dfrac{3}{m}\right\},~\cdots,~\left\{\dfrac{n}{m}\right\},~\cdots$
の中には相異なる数は有限個しかない．
(2) $a$ が無理数のとき，
$\{a\},~\{2a\},~\{3a\},~\cdots,~\{na\},~\cdots$
はすべて異なる．

→解答

４．C (東京大)
実数 $x$ の小数部分を， $0 \leqq y<1$ かつ $x-y$ が整数となる実数 $y$ のこととし，これを記号〈 $x$ 〉で表す．実数 $a$ に対して，無限数列 $\{a_n\}$ の各項 $a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を次のように順次定める．
(ⅰ) $a_1=$ 〈 $a$ 〉
(ⅱ) $a_n \ne 0$ のとき， $a_{n+1}=\left<\dfrac{1}{a_n}\right>$
$a_n=0$ のとき， $a_{n+1}=0$
(1) $a=\sqrt{2}$ のとき，数列 $\{a_n\}$ を求めよ．
(2) 任意の自然数 $n$ に対して $a_n=a$ となるような $\dfrac{1}{3}$ 以上の実数 $a$ をすべて求めよ．
(3) $a$ が有理数であるとする． $a$ を整数 $p$ と自然数 $q$ を用いて $a=\dfrac{p}{q}$ と表すとき， $q$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して， $a_n=0$ であることを示せ．