ピタゴラス数２

2016年10月23日2018年4月5日

ピタゴラス数についてのより根本的な問題です。

１．(大阪教育大)
2つの自然数が互いに素であるとは，2つの自然数の最大公約数が1であることをいう．3つの自然数が互いに素であるとは，3つの自然数からどの2つの自然数を選んでも，その選んだ2つの自然数が互いに素であることをいう．このとき，
(1) 任意の自然数 $k$ に対して，連続する2つの自然数 $k$ と $k+1$ は互いに素であることを示せ．
(2) $n$ を3以上の奇数とする． $n^2$ は奇数であるから，ある自然数 $k$ があって， $n^2=2k+1$ と表せる．このとき，3つの自然数 $n,~k,~k+1$ は互いに素であることを示せ．
(3) 3つの互いに素な自然数を3辺の長さとする直角三角形は無数にあることを示せ．

２．(信州大)
次の3つの条件を満たす自然数の組 $(x,y,z)$ を考える．
(A) $x$ は奇数である．
(B) $x^2+y^2=z^2$
(C) $x,~y,~z$ の最大公約数は1である．
例えば $(x,y,z)=(3,4,5),~(5,12,13)$ などがその例である．
(1) $y$ は偶数であることを示せ．
(2) $x=a^2-b^2,~y=2ab$ となる自然数 $a,~b$ が存在することを示せ．
(3) 条件を満たす $(x,y,z)$ で， $(3,4,5)$ と $(5,12,13)$ 以外のものを2組求めよ．

３．(北海道大)
3辺の長さがいずれも整数値であるような直角三角形を考える．
(1) 直角をはさむ2辺の長さのうち，少なくとも一方は偶数であることを証明せよ．
(2) 図のように，斜辺の長さと2番目に長い辺の長さの差が1であるような例を他に3つあげよ．

４．(神戸大)
$m,~n~(m<n)$ を自然数とし， $a=m^2-n^2,~b=2mn,~c=n^2+m^2$ とおく．3辺の長さが $a,~b,~c$ である三角形の内接円の半径を $r$ とし，その三角形の面積を $S$ とする．このとき，
(1) $a^2+b^2=c^2$ を示せ．
(2) $r$ を $m,~n$ を用いて表せ．
(3) $r$ が素数のときに， $S$ を $r$ を用いて表せ．
(4) $r$ が素数のときに， $S$ が6で割り切れることを示せ．

５．(お茶の水女子大)
各辺の長さが整数となる直角三角形がある．
(1) この直角三角形の内接円の半径は整数であることを示せ．
(2) この直角三角形の三辺の長さの和は三辺の長さの積を割り切ることを証明せよ．

６．(同志社大)
$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおいて $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},~\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},~\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}$ を導け．この結果を利用して次の(1), (2)が成立することを示せ．
(1) $\tan\dfrac{x}{2}$ が有理数になるための必要十分条件は， $\sin x,~\cos x$ がともに有理数になることである．ただし， $x$ は $|x|<\pi$ とする．
(2) (1)の $x$ が，各辺の長さが整数である直角三角形の直角でない一つの角の大きさであるとき，各辺の長さの比は $q^2+p^2,~2pq,~q^2-p^2$ ( $q,~p$ は互いに素な整数で $q>p>0$ )の比で表される．

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