整数の分割

2016年10月23日

整数の分割の問題です。

１．(大阪教育大)
自然数 $n$ をそれより小さい自然数の和として表すことを考える．ただし， $1+2+1$ と $1+1+2$ のように和の順序が異なるものは別の表し方とする．例えば，自然数2は $1+1$ の1通りの表し方ができ，自然数3は， $2+1,~1+2,~1+1+1$ の3通りの表し方ができる．
(1) 自然数4の表し方は何通りあるか．
(2) 自然数5の表し方は何通りあるか．
(3) 2以上の自然数 $n$ の表し方は何通りあるか．

２．(福島大)
正の整数 $n$ を $n=a_1+a_2+\cdots+a_k$ のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組 $(a_1,~a_2,~\cdots,~a_k)$ を $n$ の分割と呼ぶ．ここで， $k=1$ の場合，すなわち $n=a_1$ として $(a_1)$ も $n$ の分割とみなす．
いま， $n$ の分割 $(a_1,~a_2,~\cdots,~a_k)$ であって，積 $a_1a_2 \cdots a_k$ が最大となるものを $n$ の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を $P(n)$ と書くことにする．
(1) $P(4)$ を求めよ．
(2) $n>1$ とする． $n$ の分割 $(a_1,~a_2~,\cdots~,a_k)$ で $a_1=1$ のものは最大分割でないことを示せ．
(3) 最大分割に2が3回現れることはないことを示せ．
(4) 最大分割に5以上の正の整数は現れないことを示せ．
(5) $P(20)$ を求めよ．

３．(名古屋市立大)
$n$ を4以上の自然数とする．和が $n$ となる2つ以上の自然数の組合せを考え，その積の最大値 $M(n)$ とおく．例えば $n=4$ のとき，和が $n$ となる自然数の組合せは $(1,1,1,1),~(2,1,1),~(3,1),~(2,2)$ があるが，この積の最大値は $2 \times 2=4$ のときであるから $M(4)=4$ となる．
(1) $M(8)$ を求めよ．
(2) $M(12)$ を求めよ．
(3) $M(n)$ を求めよ．

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