整数の分割

整数の分割の問題です。

1.(大阪教育大)
自然数nをそれより小さい自然数の和として表すことを考える.ただし,1+2+11+1+2のように和の順序が異なるものは別の表し方とする.例えば,自然数2は1+1の1通りの表し方ができ,自然数3は,2+1,~1+2,~1+1+1の3通りの表し方ができる.
(1) 自然数4の表し方は何通りあるか.
(2) 自然数5の表し方は何通りあるか.
(3) 2以上の自然数nの表し方は何通りあるか.

2.(福島大)
正の整数nn=a_1+a_2+\cdots+a_kのようにいくつかの正の整数の和として表す.このとき,正の整数の組(a_1,~a_2,~\cdots,~a_k)nの分割と呼ぶ.ここで,k=1の場合,すなわちn=a_1として(a_1)nの分割とみなす.
いま,nの分割(a_1,~a_2,~\cdots,~a_k)であって,積a_1a_2 \cdots a_kが最大となるものをnの最大分割と呼ぶことにし,その積の値をP(n)と書くことにする.
(1) P(4)を求めよ.
(2) n>1とする.nの分割(a_1,~a_2~,\cdots~,a_k)a_1=1のものは最大分割でないことを示せ.
(3) 最大分割に2が3回現れることはないことを示せ.
(4) 最大分割に5以上の正の整数は現れないことを示せ.
(5) P(20)を求めよ.

3.(名古屋市立大)
nを4以上の自然数とする.和がnとなる2つ以上の自然数の組合せを考え,その積の最大値M(n)とおく.例えばn=4のとき,和がnとなる自然数の組合せは(1,1,1,1),~(2,1,1),~(3,1),~(2,2)があるが,この積の最大値は2 \times 2=4のときであるからM(4)=4となる.
(1) M(8)を求めよ.
(2) M(12)を求めよ.
(3) M(n)を求めよ.

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