格子点

2018年2月9日

放物線上の格子点の問題です。

1.(津田塾大)
(1) k,~lを自然数とする.このとき,直線y=\dfrac{l}{k}x-\dfrac{3l}{k}は無限に多くの格子点を通ることを示せ.ただし,点(x,y)が格子点であるとは,x,~yがともに整数であることである.
(2) 放物線y=x^2+ax+bが2つの格子点(3,9)(-2,-3)を通れば,無限に多くの格子点を通ることを示せ.

2.B (名古屋大)
xy平面上でx座標,y座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.
(1) y=\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{2}xのグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ.
(2) a,~bは実数でa \ne 0とする.y=ax^2+bxのグラフ上に,点(0,0)以外に格子点が2つ存在すれば,無限個存在することを示せ.

解答

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