その他

その他気になる問題を2つ。

１．(千葉大)
自然数nに対して，和S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}を考える．
(1) 各自然数nに対して2^k \leqq nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき，2つの奇数a_n,~b_nが存在してS_n=\dfrac{a_n}{2^{f(n)}b_n}と表されることを示せ．
(2) n \geqq 2のときS_nは整数にならないことを示せ．
(3) さらに，自然数m,~n~(m<n)に対して，和S_{m,n}=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m+1}+\cdots+\dfrac{1}{n}を考える．S_{m,n}はどんなm,~n~(m<n)に対しても整数にならないことを示せ．

２．(京都大)
4個の整数1,~a,~b,~cは1<a<b<cを満たしている．これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると，1+aからb+cまでのすべての整数の値が得られるという．a,~b,~cの値を求めよ．

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数学Ａ　整数の性質

Posted by 山彦のフドウ