その他

その他気になる問題を2つ。

1.(千葉大)
自然数nに対して,和S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}を考える.
(1) 各自然数nに対して2^k \leqq nをみたす最大の整数kf(n)で表すとき,2つの奇数a_n,~b_nが存在してS_n=\dfrac{a_n}{2^{f(n)}b_n}と表されることを示せ.
(2) n \geqq 2のときS_nは整数にならないことを示せ.
(3) さらに,自然数m,~n~(m<n)に対して,和S_{m,n}=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m+1}+\cdots+\dfrac{1}{n}を考える.S_{m,n}はどんなm,~n~(m<n)に対しても整数にならないことを示せ.

2.(京都大)
4個の整数1,~a,~b,~c1<a<b<cを満たしている.これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると,1+aからb+cまでのすべての整数の値が得られるという.a,~b,~cの値を求めよ.

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