集合

2018年10月8日

集合の問題です。

1.(日本女子大)
有理数a,~bを用いて,a+b\sqrt{2}と表せる数全体の集合をAとする.次の数がAに属するかどうかを判定せよ.
(1) -\dfrac{2}{3}
(2) \dfrac{1}{2+\sqrt{2}}
(3) \sqrt{3}
(4) \sqrt{6-2\sqrt{8}}

2.(熊本大)
2つの整数の平方の和で表される整数の集合をAとする.
(1) 集合Aのある要素a^2+b^2 (a,~bは整数)が3で割り切れるとき,a,~bはともに3の倍数であることを示せ.
(2) xを整数とする.9xが集合Aの要素であるとき,xは集合Aの要素であることを示せ.

3.(大阪市立大)
集合Sを,m^2+n^2 (m,~nは整数)の形で表される整数全体の集合,すなわち,S=\{m^2+n^2~|~m,~nは整数\}とする.例えば,2018=13^2+43^2なので,2018は集合Sに属する.
(1) aを自然数とする.aSに属するならば,aを4で割ったときの余りは,0, 1, 2のいずれかであることを示せ.
(2) a,~bを自然数とする.a,~bがともにSに属するならば,abもまたSに属することを示せ.
(3) 2018より大きく,Sに属する最小の自然数を求めよ.

4.(静岡大)
整数nがある整数の2乗で表されるとき,nは平方数であるという.2つの平方数の和で表される整数全体の集合をAとする.例えば,0=0^2+0^2より0 \in Aであり,また,13=2^2+3^2より13 \in Aである.
(1) 整数a,~b,~x,~yに対して,等式(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2が成り立つことを示せ.
(2) 2つの整数\alpha,~\betaAの要素であるとき,積\alpha\betaAの要素であることを示せ.
(3) 25, 50, 1250のそれぞれがAの要素であることを示せ.

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