部分集合

2016年11月2日

部分集合の問題です。

1.((1) 防衛医大 (2) 愛媛大)
(1) 集合X=\{1,2,3\}とするとき,Xの部分集合A,~Bが,以下の条件(ⅰ), (ⅱ)を満たしているとする.このようなA,~Bの組はいくつあるか.
(ⅰ) B \subset A
(ⅱ) 集合Bの要素の個数が,Bの要素にもなっている.
(2) kを実数とし,不等式x^2-2x-3>0,~x^2-(k+1)x+k>0を満たす実数xの集合をそれぞれA,~Bとする.このとき,A \subset Bであるための必要十分条件をkを用いて表せ.

2.(津田塾大)
自然数nに対して,1からnまでの自然数の集合をA_nとする.すなわちA_n=\{1,~2,~\cdots,~n\}である.また集合A_nの部分集合Mについて,Mのすべての要素の積をP(M)とおく.ただしMが空集合\phiのときはP(\phi)=1とする.A_nのすべての部分集合Mにわたって,\dfrac{1}{P(M)}をたし合わせた和をS_nとする.たとえば
(a) A_1の部分集合は\phi\{1\}であるから,S_1=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}である.
(b) A_2の部分集合は\phi,~\{1\},~\{2\},~\{1,~2\}であるから,S_2=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1 \cdot 2}である.
(1) A_3A_4のそれぞれの部分集合をすべて書き並べよ.
(2) S_{n+1}の値をS_nで表す漸化式を求めよ.
(3) 上の漸化式からS_nを求めよ.

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