必要条件・十分条件1

2016年11月2日

必要条件、十分条件の問題です。

1.(龍谷大)
次のpqにとっての
(ア) 必要条件,(イ) 十分条件,(ウ) 必要十分条件,(エ) 以上のいずれでもない,
のいずれであるかを答えよ.ただし,a,~b,~cは実数とする.
(1) p:a=b      q:ac=bc
(2) p:a^2>b^2    q:a>b
(3) p:a>0,~b>0   q:a+b>0,~ab>0
(4) p:a+b,~abは整数  q:a,~bは整数
(5) p:ab>0      q:\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}>0

2.(慶応大)
整数nを自然数mで割った余りr~(0 \leqq r \leqq m-1)n \mbox{mod} mと書く.x,~yは0以上の整数として,次の8つの条件のうち,x \mbox{mod} 2=y\mbox{mod} 2の必要十分条件であるものをすべてあげよ.
(A) x+yは奇数である.
(B) x+yは偶数である.
(C) xyは奇数である.
(D) xyは偶数である.
(E) 3x+7yは偶数である.
(F) (x+1)y^2は奇数である.
(G) x+yおよびxyはともに偶数である.
(H) xyは4で割り切れない偶数である.

3.(上智大)
(  )には,下の(a)~(d)の中から正しいものを1つ選べ.a,bは正の整数とする.
(1) 「a+b<3」は,「a^2+b^2<6である」ための(  ).
(2) 「a+b<ab+1」は,「a \geqq 2かつb \geqq 2である」ための(  ).
(3) 「ab<a+b」は,「a+b<4である」ための(  ).
(a) 必要十分条件である.
(b) 必要条件であるが,十分条件ではない.
(c) 十分条件であるが,必要条件ではない.
(d) 必要条件でも十分条件でもない.

4.(東京慈恵会医大)
正の整数x,~yについての条件p,~q,~rを次のように定める.
p:x+yは奇数である.
q:xyの少なくとも一方は奇数である.
r:x^2+y^2は奇数である.
まず,命題「pならばqである」と「qならばpである」の命題の真偽を判定する.前者は( ア )である.後者は( イ )である.したがって,pqであるための( ウ )条件である.同じように考えれば,prであるための( エ )条件であることが分かる.ウとエには「必要,十分,必要十分,必要でも十分でもない」のうちから選んで記入せよ.

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