必要条件・十分条件２

2016年10月25日2017年8月9日

必要条件、十分条件の問題の続きです。

１．(はこだて未来大)
$a \geqq 0,~b \geqq 0$ のとき， $a \leqq b$ と $a^2 \leqq b^2$ とは互いに同値であることを示せ．

２．(琉球大)
実数 $\alpha,~\beta$ が $\alpha>0$ かつ $\beta>0$ であるための必要十分条件は $\alpha+\beta>0$ かつ $\alpha\beta>0$ であることを示せ．

３．(大阪府立大)
$m,~n$ は正の整数を表すとする．次のことを示せ．
(1) $n-1$ が7の倍数であることは， $n^3-1$ が7の倍数であることの十分条件だが必要条件でない．
(2) $m^2$ が $n$ の倍数であることは， $m^2$ が $n^2$ の倍数の必要条件だが十分条件でない．

４．(東京慈恵会医大)
次の命題①，②が成り立つことを証明せよ．
$2n,~2n+1$ ( $n$ は整数)と表される整数を，順に偶数，奇数という．集合 $A$ を $A=\{a^2-b^2~|~a,~b$ は整数}と定める．
命題①「すべての奇数は $A$ の要素である」
$m$ を偶数とする．
命題②「 $m$ が4の倍数であることは， $m$ が $A$ の要素であるための必要十分条件である」

５．(津田塾大)
実数 $a$ に対して， $a$ 以下の最大の整数を $[a]$ で表す．
(1) $a$ と $b$ が実数のとき， $a \leqq b$ ならば $[a] \leqq [b]$ であることを示せ．
(2) $n$ を自然数とするとき， $[\sqrt{n}]=\sqrt{n}$ であるための必要十分条件は， $n$ が平方数であることを示せ．ただし，平方数とは整数の2乗である数をいう．
(3) $n$ を自然数とするとき， $[\sqrt{n}]-[\sqrt{n-1}]=1$ となるための必要十分条件は $n$ が平方数であることを示せ．

６．(旭川医大)
正の奇数 $p$ に対して，3つの自然数の組 $(x,y,z)$ で， $x^2+4yz=p$ を満たすもの全体の集合を $S$ とおく．すなわち
$S=\{(x,y,z)~|~x,~y,~z$ は自然数， $x^2+4yz=p\}$
(1) $S$ が空集合でないための必要十分条件は， $p=4k+1$ ( $k$ は自然数)とかけることであることを示せ．
(2) $S$ の要素の個数が奇数ならば $S$ の要素 $(x,y,z)$ で $y=z$ となるものが存在することを示せ．

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