必要条件・十分条件2

2017年8月9日

必要条件、十分条件の問題の続きです。

1.(はこだて未来大)
a \geqq 0,~b \geqq 0のとき,a \leqq ba^2 \leqq b^2とは互いに同値であることを示せ.

2.(琉球大)
実数\alpha,~\beta\alpha>0かつ\beta>0であるための必要十分条件は\alpha+\beta>0かつ\alpha\beta>0であることを示せ.

3.(大阪府立大)
m,~nは正の整数を表すとする.次のことを示せ.
(1) n-1が7の倍数であることは,n^3-1が7の倍数であることの十分条件だが必要条件でない.
(2) m^2nの倍数であることは,m^2n^2の倍数の必要条件だが十分条件でない.

4.(東京慈恵会医大)
次の命題①,②が成り立つことを証明せよ.
2n,~2n+1 (nは整数)と表される整数を,順に偶数,奇数という.集合AA=\{a^2-b^2~|~a,~bは整数}と定める.
命題①「すべての奇数はAの要素である」
mを偶数とする.
命題②「mが4の倍数であることは,mAの要素であるための必要十分条件である」

5.(津田塾大)
実数aに対して,a以下の最大の整数を[a]で表す.
(1) abが実数のとき,a \leqq bならば[a] \leqq [b]であることを示せ.
(2) nを自然数とするとき,[\sqrt{n}]=\sqrt{n}であるための必要十分条件は,nが平方数であることを示せ.ただし,平方数とは整数の2乗である数をいう.
(3) nを自然数とするとき,[\sqrt{n}]-[\sqrt{n-1}]=1となるための必要十分条件はnが平方数であることを示せ.

6.(旭川医大)
正の奇数pに対して,3つの自然数の組(x,y,z)で,x^2+4yz=pを満たすもの全体の集合をSとおく.すなわち
S=\{(x,y,z)~|~x,~y,~zは自然数,x^2+4yz=p\}
(1) Sが空集合でないための必要十分条件は,p=4k+1 (kは自然数)とかけることであることを示せ.
(2) Sの要素の個数が奇数ならばSの要素(x,y,z)y=zとなるものが存在することを示せ.

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