対偶法

2016年11月2日

対偶法の問題です。

1.(富山県立大)
整数mの平方が3の倍数ならば,mは3の倍数であることを,対偶によって証明せよ.

2.(東北学院大)
次の命題の真偽を調べ,真であるときは証明を与え,偽であるときは反例をあげよ.ただし,m,~nは自然数とする.
(1) n^2が4の倍数ならば,nは4の倍数である.
(2) m^2+n^2が偶数ならば,m+nは偶数である.

3.(東北学院大)
次の命題の真偽を述べよ.また,真であるときは証明し,偽であるときは反例(成り立たない例)をあげよ.ただし,a,~b,~cは整数とする.
(1) a^2+b^2+c^2が偶数ならば,a,~b,~cのうち少なくとも1つは偶数である.
(2) a^2+b^2+c^2が4の倍数ならば,a,~b,~cのうち少なくとも1つは4の倍数である.
(3) a^2+b^2+c^2-ab-bc-caが奇数ならば,a,~b,~cのうち奇数の個数は1個または2個である.

4.(神戸大)
実数x,~yに関する次の各命題の真偽を答えよ.さらに,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.
(1) x>0かつxy>0ならば,y>0である.
(2) x \geqq 0かつxy \geqq 0ならば,y \geqq 0である.
(3) x+y \geqq 0かつxy \geqq 0ならば,y \geqq 0である.

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