対偶法

2016年10月25日2016年11月2日

対偶法の問題です。

１．(富山県立大)
整数 $m$ の平方が3の倍数ならば， $m$ は3の倍数であることを，対偶によって証明せよ．

２．(東北学院大)
次の命題の真偽を調べ，真であるときは証明を与え，偽であるときは反例をあげよ．ただし， $m,~n$ は自然数とする．
(1) $n^2$ が4の倍数ならば， $n$ は4の倍数である．
(2) $m^2+n^2$ が偶数ならば， $m+n$ は偶数である．

３．(東北学院大)
次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例(成り立たない例)をあげよ．ただし， $a,~b,~c$ は整数とする．
(1) $a^2+b^2+c^2$ が偶数ならば， $a,~b,~c$ のうち少なくとも1つは偶数である．
(2) $a^2+b^2+c^2$ が4の倍数ならば， $a,~b,~c$ のうち少なくとも1つは4の倍数である．
(3) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ が奇数ならば， $a,~b,~c$ のうち奇数の個数は1個または2個である．

４．(神戸大)
実数 $x,~y$ に関する次の各命題の真偽を答えよ．さらに，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
(1) $x>0$ かつ $xy>0$ ならば， $y>0$ である．
(2) $x \geqq 0$ かつ $xy \geqq 0$ ならば， $y \geqq 0$ である．
(3) $x+y \geqq 0$ かつ $xy \geqq 0$ ならば， $y \geqq 0$ である．

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