背理法

2016年11月19日

背理法の問題です。

1.(慶応大)
(1) 有理数の定義を書け.
(2) 次のそれぞれの命題の真偽を求め,真の場合はそれを証明し,偽の場合はその理由を述べよ.
(a) \sqrt{5}は無理数である.
(b) r,~sがともに有理数ならば,積rsは有理数である.
(c) \alphaが無理数で,rが0でない有理数ならば,積\alpha rは無理数である.
(d) \alpha,~\betaがともに無理数ならば,積\alpha\betaは無理数である.

2.(京都教育大)
(1) mが自然数のとき,\sqrt{m}が整数でなければ,\sqrt{m}は無理数であることを証明せよ.
(2) nが2以上の整数のとき,\sqrt{n^2+3}は無理数であることを証明せよ.

3.(京都大)
nを1以上の整数とするとき,次の2つの命題はそれぞれ正しいか.正しいときは証明し,正しくないときはその理由を述べよ.
命題p:あるnに対して,\sqrt{n}\sqrt{n+1}はともに有理数である.
命題q:すべてのnに対して,\sqrt{n+1}-\sqrt{n}は無理数である.

4.((2) 福井県立大)
(1) a,~bを有理数とするとき,a+b\sqrt{2}=0ならばa=b=0であることを示せ.ただし,\sqrt{2}が無理数であることは利用してよい.
(2) a,~b,~c,~dを有理数,xを無理数とするとき,「a+bx=c+dxならばa=cかつb=d」が成り立つことを証明せよ.

5.(京都大)
以下の問いに答えよ.ただし,\sqrt{2},~\sqrt{3},~\sqrt{6}は無理数であることを用いてもよい.
(1) 有理数p,~q,~rについて,p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0ならば,p=q=r=0であることを示せ.
(2) 実数係数の2次式f(x)=x^2+ax+bについて,f(1),~f(1+\sqrt{2}),~f(\sqrt{3})のいずれかは無理数であることを示せ.

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