方程式の論証2

2019年11月22日

1の続きです。

1.(愛媛大)
p,~qを整数とし,f(x)=x^2+px+qとおく.
(1) 有理数aが方程式f(x)=0の1つの解ならば,aは整数であることを示せ.
(2) f(1)f(2)も2で割り切れないとき,方程式f(x)=0は整数の解をもたないことを示せ.

2.(首都大)
整数を係数とする3次式f(x)=x^3+ax^2+bx+cについて,
(1) 有理数rが方程式f(x)=0の1つの解であるとき,rは整数であることを示せ.
(2) 整数f(1),~f(2),~f(3)のいずれも3で割り切れないとき,方程式f(x)=0は有理数の解をもたないことを示せ.

3.(九州大)
整数a,~bは3の倍数ではないとし,f(x)=2x^3+a^2x^2+2b^2x+1とおく.
(1) f(1)f(2)を3で割った余りをそれぞれ求めよ.
(2) f(x)=0を満たす整数xは存在しないことを示せ.
(3) f(x)=0を満たす有理数xが存在するような組(a,b)をすべて求めよ.

4.(九州大)
整数を係数とするn次の整式
f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~(n>1)
について次の(1), (2)を証明せよ.
(1) 有理数\alphaが方程式f(x)=0の1つの解ならば,\alphaは整数である.
(2) ある自然数k(>1)に対して,k個の整数f(1),~f(2),~\cdots,~f(k)のどれもがkで割り切れなければ,方程式f(x)=0は有理数の解をもたない.

5.(電気通信大)
整式f(x)=x^3+ax^2+bx+c (a,~b,~cは整数)について考える.ただし以下ではnは整数とする.
(1) f(x)(x-n)の形の式で割り切れるとき,cnの倍数であることを示せ.
(2) 整式g(x)=x^3+7x^2-x-3は,(x-n)の形で割り切れるかどうか理由を述べ判定せよ.
(3) pを素数とする.整数a,~b,~cはすべてpの倍数であるが,cp^2の倍数ではないとする.このときf(x)(x-n)の形の式で割り切れないことを示せ.
(4) 整式h(x)=x^3+483x^2+1617x+1071は,(x-n)の形の式で割り切れるかどうか理由を述べて判定せよ.

6.(京都大)
nは2以上の自然数,pは素数,a_0,~a_1,~\cdots,~a_{n-1}は整数とし,n次式f(x)=x^n+pa_{n-1}x^{n-1}+\cdots+pa_{i}x^i+\cdots+pa_0を考える.
(1) 方程式f(x)=0が整数解\alphaをもてば,\alphapで割り切れることを示せ.
(2) a_0pで割り切れなければ,方程式f(x)=0は整数解をもたないことを示せ.

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