方程式の論証3

2の続きです。

1.((1) 九州大 (2) 京都教育大)
(1) aを整数とする.x^2+3x+a=0が有理数解をもつならば,aは偶数であることを示せ.
(2) a,~bを奇数とするとき,2次方程式x^2+ax+b=0は整数解をもたないこと示せ.
(3) a,~bを奇数の定数とする.xの3次方程式x^3+ax+b=0は整数の解をもたないことを示せ.

2.(鹿児島大)
a,~b,~cを奇数とする.xについての2次方程式ax^2+bx+c=0に関して
(1) この2次方程式が有理数の解\dfrac{q}{p}をもつならば,pqはともに奇数であることを背理法で証明せよ.ただし,\dfrac{q}{p}は既約分数とする.
(2) この2次方程式が有理数の解をもたないことを(1)を利用して証明せよ.

3.(神戸大)
xについての方程式a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0において,nは2以上の整数で,係数a_0,~a_1,~\cdots,~a_{n-1},~a_nもすべて整数とする.もし,a_0,~a_nおよびa_0+a_1+\cdots+a_{n-1}+a_nがいずれも奇数であるならば,上の方程式は有理数の解を持ち得ないことを証明せよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ