方程式の論証4

3の続きです。

1.(京都大)
a,~bを整数,u,~vを有理数とする.u+v\sqrt{3}x^2+ax+b=0の解であるならば,uvはともに整数であることを示せ.ただし,\sqrt{3}が無理数であることは使ってよい.

2.(明治大)
(1) m,~nは整数,m^2+n^2が4の倍数ならば,m,~nはともに偶数であることを示せ.
(2) a,~bは整数,p,~qは有理数,q \ne 0かつp+qiが方程式x^2+ax+b=0の解であるならば,p,~qはともに整数であることを示せ.ただし,i=\sqrt{-1}とする.

3.(小樽商科大)
方程式x^2-3x-1=0の解\alphaについて次のことがらを示せ.
(1) \alphaは整数ではない.
(2) \alphaは有理数ではない.
(3) \alphap+q\sqrt{3} (p,~qは有理数)の形では表せない.

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