関数と論証1

関数の最大最小と論証の問題です。

1.(東京理科大)
定数a,~bに対して,関数f(x)f(x)=|x^2+2ax+b|と定める.また,f(x)-1 \leqq x \leqq 1における最大値をMとおく.
(1) 条件f(1)<\dfrac{1}{2}かつf(-1)<\dfrac{1}{2}を満たす点(a,b)の存在範囲をab平面上に図示せよ.またこのとき,実数aおよびbのとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ.
(2) 実数a,~bがどのような値であっても,不等式M \geqq \dfrac{1}{2}が成り立つことを示せ.
(3) M=\dfrac{1}{2}となるようなa,~bの値をすべて求めよ.

2.(京都大)
3次関数f(x)=x^3-ax (aは実数)の絶対値|f(x)|0 \leqq x \leqq 1における最大値は,aの値が何であっても常に\dfrac{1}{4}より小さくないことを証明せよ.

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