関数と論証２

2016年10月26日

１の続きです。

１．(横浜国立大)
$a,~b,~c$ を実数とする．関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で，つねに $|f(x)| \leqq 1$ を満たすとき，
(1) $f'(0)$ を $f(0),~f(\frac{1}{2}),~f(1)$ を用いて表せ．
(2) $|f'(0)| \leqq 8$ であることを証明せよ．
(3) $|f'(0)|=8$ となるときの $f(x)$ を求めよ．

２．(京都大)
$a,~b,~c$ は実数で， $a \geqq 0,~b \geqq 0$ とする．
$p(x)=ax^2+bx+x,~q(x)=cx^2+bx+a$
とおく． $-1 \leqq x \leqq 1$ をみたすすべての $x$ に対して $|p(x)| \leqq 1$ が成り立つとき， $-1 \leqq x \leqq 1$ をみたすすべての $x$ に対して $|q(x)| \leqq 2$ が成り立つことを示せ．

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Posted by 山彦のフドウ

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