関数と論証2

1の続きです。

1.(横浜国立大)
a,~b,~cを実数とする.関数f(x)=ax^2+bx+c0 \leqq x \leqq 1の範囲で,つねに|f(x)| \leqq 1を満たすとき,
(1) f'(0)f(0),~f(\frac{1}{2}),~f(1)を用いて表せ.
(2) |f'(0)| \leqq 8であることを証明せよ.
(3) |f'(0)|=8となるときのf(x)を求めよ.

2.(京都大)
a,~b,~cは実数で,a \geqq 0,~b \geqq 0とする.
p(x)=ax^2+bx+x,~q(x)=cx^2+bx+a
とおく.-1 \leqq x \leqq 1をみたすすべてのxに対して|p(x)| \leqq 1が成り立つとき,-1 \leqq x \leqq 1をみたすすべてのxに対して|q(x)| \leqq 2が成り立つことを示せ.

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