関数と論証２

１の続きです。

１．(横浜国立大)
a,~b,~cを実数とする．関数f(x)=ax^2+bx+cが0 \leqq x \leqq 1の範囲で，つねに|f(x)| \leqq 1を満たすとき，
(1) f'(0)をf(0),~f(\frac{1}{2}),~f(1)を用いて表せ．
(2) |f'(0)| \leqq 8であることを証明せよ．
(3) |f'(0)|=8となるときのf(x)を求めよ．

２．(京都大)
a,~b,~cは実数で，a \geqq 0,~b \geqq 0とする．
p(x)=ax^2+bx+x,~q(x)=cx^2+bx+a
とおく．-1 \leqq x \leqq 1をみたすすべてのxに対して|p(x)| \leqq 1が成り立つとき，-1 \leqq x \leqq 1をみたすすべてのxに対して|q(x)| \leqq 2が成り立つことを示せ．

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Posted by 山彦のフドウ