数列と論証1

数列と論証の問題です。

1.(愛媛大)
nを自然数とし,1または-12n個並べた数列(a_1,~a_2,~\cdots,~a_{2n})を考える.例えば,n=1のときは(1,1),~(1,-1),~(-1,1),~(-1,-1)の4通りがある.
(1) \dfrac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots+a_{2n})が整数であることを示せ.
(2) \dfrac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots+a_{2n})が2の倍数となるような数列(a_1,~a_2,~\cdots,~a_{2n})は全部で何通りあるか.

2.(大阪府立大)
n \geqq 2とする.実数の数列a_1,~a_2,~a_3,~\cdots,~a_n,~\cdotsがある.すべてのnに対し,この数列の初項から第n項までの和と積が等しいとする.
(1) S_n=\sum_{k=1}^{n}a_kとおくとき,S_nS_{n-1}で表せ.ただし,S_1=a_1とする.
(2) a_2a_1で表せ.また,a_{n+1}a_nで表せ.
(3) a_1>1のとき,a_n>a_{n+1}>1が成り立つことを示せ.

3.(京都大)
nを2以上の整数とする.実数a_1,~a_2,~\cdots,~a_nに対し,
S=a_1+a_2+\cdots+a_n
とおく.k=1,~2,~\cdots,~nについて,不等式-1<S-a_k<1が成り立っているとする.a_1 \leqq a_2 \leqq \cdots \leqq a_nのとき,すべてのkについて|a_k|<2が成り立つことを示せ.

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