数列と論証2

1の続きです。

1.(滋賀大)
数列\{a_n\}が条件0<a_1<1,~0<a_{n+1}-a_n<\dfrac{1}{2^n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たすとき,0<a_n<2が成り立つことを証明せよ.

2.(山形大)
nを自然数とする.n個の実数a_1,~a_2,~\cdots,~a_n
a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n \geqq 0,~\sum_{k=1}^{n}a_k=1
を満たすとき,1 \leqq l \leqq nであるすべての自然数lに対して\dfrac{l}{n} \leqq \sum_{k=1}^{l}a_k \leqq 1が成り立つことを示せ.

3.(京都大)
実数x_1,~\cdots,~x_n~(n \geqq 3)が条件
x_{k-1}-2x_k+x_{k+1}>0~(2 \leqq k \leqq n-1)
を満たすとし,x_1,~\cdots,~x_nの最小値をmとする.このとき,x_l=mとなるl~(1 \leqq l \leqq n)の個数は1または2であることを示せ.

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