数列と論証２

2016年10月26日

１の続きです。

１．(滋賀大)
数列 $\{a_n\}$ が条件 $0<a_1<1,~0<a_{n+1}-a_n<\dfrac{1}{2^n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を満たすとき， $0<a_n<2$ が成り立つことを証明せよ．

２．(山形大)
$n$ を自然数とする． $n$ 個の実数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ が
$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n \geqq 0,~\sum_{k=1}^{n}a_k=1$
を満たすとき， $1 \leqq l \leqq n$ であるすべての自然数 $l$ に対して $\dfrac{l}{n} \leqq \sum_{k=1}^{l}a_k \leqq 1$ が成り立つことを示せ．

３．(京都大)
実数 $x_1,~\cdots,~x_n~(n \geqq 3)$ が条件
$x_{k-1}-2x_k+x_{k+1}>0~(2 \leqq k \leqq n-1)$
を満たすとし， $x_1,~\cdots,~x_n$ の最小値を $m$ とする．このとき， $x_l=m$ となる $l~(1 \leqq l \leqq n)$ の個数は1または2であることを示せ．

関連ブログはこちら

数学Ⅰ　集合と論証数列と論証

Posted by 山彦のフドウ

順列と論証１

数列と論証１

コメント一覧

まだ、コメントがありません