順列と論証1

順列と論証の問題です。

1.(東京大)
円周上にm個の赤い点とn個の青い点を任意の順序に並べる.これらの点により,円周はm+n個の弧に分けられる.このとき,これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は偶数であることを証明せよ.ただし,m \geqq 1,~n \geqq 1であるとする.

2.(東京大)
白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる.碁石がどのように並んでいても,次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ.
その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと,残りは白石と黒石が同数となる.ただし,碁石が1つも残らない場合も同数と見なす.

3.(京都大)
n,~kは自然数でk \leqq nとする.穴のあいた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひもを通して輪を作る.このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け,どちらの組も白玉k個,黒玉n-k個からなるようにできることを示せ.

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