順列と論証2

1の続きです。

1.(東京大)
Nを正の整数とする.2N個の項からなる数列
\{a_1,~a_2,~\cdots,~a_N,~b_1,~b_2,~\cdots,~b_N\}
を \{b_1,~a_1,~b_2,~a_2,~\cdots,~b_N,~a_N\}
という数列に並び替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする.並び替えた数列はb_1を初項とし,b_iの次にa_ia_iの次にb_{i+1}が来るようなものになる.また,数列\{1,~2,~\cdots,~2N\}をシャッフルしたときに得られる数列において,数kが現れる位置をf(k)で表す.例えばN=3のとき,\{1,~2,~3,~4,~5,~6\}をシャッフルすると\{4,~1,~5,~2,~6,~3\}となるので,f(1)=2,~f(2)=4,~f(3)=6,~f(4)=1,~f(5)=3,~f(6)=5である.
(1) 数列\{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8\}を3回シャッフルしたときに得られる数列を求めよ.
(2) 1 \leqq k \leqq 2Nを満たす任意の整数kに対し,f(k)-2k2N+1で割り切れることを示せ.
(3) nを正の整数とし,N=2^{n-1}のときを考える.数列\{1,~2,~3,~\cdots,~ 2N\}2n回シャッフルすると,\{1,~2,~3,~\cdots,~2N\}に戻ることを証明せよ.

2.(鳥取大)
1からnまでの数が1つずつ書かれたn枚のカードを円周上に時計まわりに並べる.2が書かれたカードから始めて,時計まわりに1枚おきにカードを取り除く操作を続けていき,カードが最後の1枚になるまで円周上を何回でもまわる.そして残った1枚のカードに書かれた数をf(n)とする.ただし,1枚おきに取り除く操作は,まだ円周上に残っているカードに対して行う.例えば,n=9のときには,2, 4, 6, 8, 1, 5, 9, 7の数が書かれたカードが順に取り除かれるのでf(9)=3である.また,n=10のときには,2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9の数が書かれたカードが取り除かれるのでf(10)=5である.このとき,次の問いに答えよ.ただし,f(1)=1とする.
(1) 2から8までのnに対して,f(n)の値を求めよ.
(2) 自然数nに対して,f(2n)=2f(n)-1,~f(2n+1)=2f(n)+1が成り立つことを示せ.
(3) 自然数nに対して,f(2^n)=1が成り立つことを示せ.
(4) f(2^{10}+2^9+\cdots+2+1)の値を求めよ.

3.(早稲田大)
円周上にm個の点\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\cdots,~\mbox{P}_mがこの順に配置され,各点\mbox{P}_iに1つの実数c_iが与えられている~(i=1,~2,~\cdots,~m).ただしm \geqq 3とする.
さらに,(c_1,~c_2,~\cdots,~c_m)は条件
(*) 各点の値は,隣接する2点の値の和に等しい
を満たす.
(1) m=3の場合に(c_1,c_2,c_3)の値を求めよ.
(2) c_1=a,~c_2=bとおくときc_7a,~bで表せ.ただし,m \geqq 7とする.
(3) 条件(*)を満たし,かつc_1 \ne 0となる(c_1,c_2,~\cdots,c_m)が存在するのはmがどのような自然数の場合か.mが満たすべき必要十分条件を求め,その理由を簡単に述べよ.

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