格子点と論証

格子点と論証の問題です。

1.(京都大)
xy平面上の点でx座標,y座標がともに整数である点を格子点という.
(1) 格子点を頂点とする三角形の面積は\dfrac{1}{2}以上であることを示せ.
(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき,この四角形は平行四辺形であることを示せ.

2.(京都大)
座標平面において,x,~yがともに整数であるような点(x,y)を格子点とよぶことにする.この平面上で
(1) 辺の長さが1で,辺が座標軸に平行な正方形 (周をこめる)は少なくとも1つの格子点を含むことを証明せよ.
(2) 辺の長さが\sqrt{2}の正方形 (周をこめる)は,どんな位置にあっても,少なくとも1つの格子点を含むことを証明せよ.

3.(東京大)
xy平面において,x座標,y座標がともに整数であるような点を格子点と呼ぶ.格子点を頂点にもつ三角形ABCを考える.
(1) 辺AB, ACそれぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると,辺BC上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ.
(2) 辺AB, AC上に両端を除いてちょうど3点ずつ格子点が存在するとき,三角形ABCの面積は8で割り切れる整数であることを示せ.

4.(お茶の水女子大)
(1) 平面上で,3頂点の座標がすべて整数の組であるような三角形の面積の2倍は整数であることを示せ.
(2) 平面上で,3頂点の座標がすべて整数の組であるような正三角形は存在するか.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ