2次方程式と素数

2016年10月26日2018年4月9日

素数の絡んだ2次方程式の問題です。

１．B (関西学院大)
(1) $n$ を正の整数とする． $n$ を5で割った余りが3であるとき， $n^2$ を5で割った余りを求めよ．
(2) $p$ を整数とする．方程式 $x^2+4x-5p+2=0$ を満足する整数 $x$ は存在しないことを証明せよ．

→解答

２．B ((1) 千葉大　(2) 高知大)
(1) $p$ を素数とする． $x$ に関する2次方程式 $px^2+(5-p^2)x-3p=0$ が整数の解をもつのは $p=2$ のときに限ることを示せ．
(2) $a$ を正の整数とし， $p,~q$ を素数とする．このとき，2次方程式 $ax^2-px+q=0$ の2解が整数となるような組 $(a,p,q)$ をすべて求めよ．

→解答

３．B (上智大)
素数とは，1と自分自身以外に約数をもたない2以上の整数である．
(1) $p$ を素数とする．2次方程式 $x^2-p^2x+4p^2=0$ が素数 $q$ を解にもつとき， $p,~q$ を求めよ．
(2) $x,~y$ を正の整数， $p$ を素数とする． $4x^4+4y^4-x^2y^2=p$ であるとき， $x,~y,~p$ を求めよ．