2次方程式と素数

2018年4月9日

素数の絡んだ2次方程式の問題です。

1.B (関西学院大)
(1) nを正の整数とする.nを5で割った余りが3であるとき,n^2を5で割った余りを求めよ.
(2) pを整数とする.方程式x^2+4x-5p+2=0を満足する整数xは存在しないことを証明せよ.

解答

2.B ((1) 千葉大 (2) 高知大)
(1) pを素数とする.xに関する2次方程式px^2+(5-p^2)x-3p=0が整数の解をもつのはp=2のときに限ることを示せ.
(2) aを正の整数とし,p,~qを素数とする.このとき,2次方程式ax^2-px+q=0の2解が整数となるような組(a,p,q)をすべて求めよ.

解答

3.B (上智大)
素数とは,1と自分自身以外に約数をもたない2以上の整数である.
(1) pを素数とする.2次方程式x^2-p^2x+4p^2=0が素数qを解にもつとき,p,~qを求めよ.
(2) x,~yを正の整数,pを素数とする.4x^4+4y^4-x^2y^2=pであるとき,x,~y,~pを求めよ.

解答

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