高次方程式と整数解1

2018年4月8日

高次方程式と整数解の問題です。

1.B (東北大)
xの3次方程式x^3-(p-3)x^2-3x+p-1=0の3つの解がすべて整数となるような実数pの値を求めよ.

解答

2.B ((1) 立命館大 (2) 滋賀大)
(1) nを自然数とする.xについての3次方程式x^3+nx^2+(n-6)x-2=0の1つの解が自然数であるとき,方程式の解をすべて求めよ.
(2) nを正の整数とし,pを正の素数とする.3次方程式x^3+nx^2-(5-n)x+p=0の1つの解が正の整数であることを知って,この方程式を解け.

解答

3.B (京都大)
m,~nは整数とし,f(x)=x^3+mx^2+nx+2とする.
(1) 方程式f(x)=0が3つの整数解(重解があってもよい)をもつようなm,~nの組をすべて求めよ.
(2) 方程式f(x)=0が少なくとも1つの整数解をもつために,m,~nが満たすべき必要十分条件を求めよ.

解答

4.B (同志社大)
xの方程式x^3-(6+k)x^2-4(1-2k)x+12(3-k)=0が少なくとも1つの整数解をもつような整数kの値をすべて求めよ.

解答

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