高次方程式と整数解2

2018年4月8日

整数解の他に虚数解をもつという条件のついた問題です。

1.B (早稲田大)
係数a,~bが整数である3次方程式x^3+ax^2+bx+1=0が2つの虚数解と1つの整数解をもつ.これを満たす整数の組(a,b)は(  )組あり,そのうちaの値が最大となる組は(a,b)=(~~~~~)である.

解答

2.B (東北大)
nを整数とし,pを2以上の整数で素数とする.3次方程式x^3+nx^2+n^2x=pが正の整数x=\alphaを解に持つとき,
(1) \alpha=1であることを示せ.
(2) 上の3次方程式がk+\sqrt{2}i (kは実数)を解に持つとき,pの値を求めよ.ここで,iは虚数単位とする.

解答

3.B (一橋大)
mを整数とし,f(x)=x^3+8x^2+mx+60とする.
(1) 整数aと,0ではない整数bで,f(a+bi)=0を満たすものが存在するようなmをすべて求めよ.ただし,iは虚数単位である.
(2) (1)で求めたすべてのmに対して,方程式f(x)=0を解け.

解答

4.B (京都大)
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1は整数を係数とするxの4次式とする.4次方程式f(x)=0の重複も含めた4つの解のうち,2つは整数で残り2つは虚数であるという.このときa,~b,~cの値を求めよ.

解答

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