方程式の有理数解

2016年10月26日

方程式の有理数解の問題です。

１．(岡山県立大)
整数 $a,~b,~c,~d$ を係数とする3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ が有理数の解 $\dfrac{q}{p}$ ( $p,~q$ は互いに素な整数)をもつとき， $a$ が $p$ で割り切れることを示せ．

２．
整数を係数とする $n$ 次方程式 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0~(a_n \ne 0,~a_0 \ne 0)$ が有理数の解 $\alpha=\dfrac{q}{p}$ ( $p$ は自然数で， $p,~q$ は互いに素な整数)をもつとき， $p$ は $a_n$ の約数であり，また $q$ は $a_0$ の約数であることを示せ．