接線の方程式

2017年4月20日

接線の方程式の問題です。

1.(大阪大)
曲線C:y=x^3-kx (kは実数)を考える.C上に点A(a,a^3-ka)~(a \ne 0)をとる.
(1) 点AにおけるCの接線をl_1とする.l_1CのA以外の交点をBとする.Bのx座標を求めよ.
(2) 点BにおけるCの接線をl_2とする.l_1l_2が直交するとき,akが満たす条件を求めよ.
(3) l_1l_2が直交するaが存在するようなkの値の範囲を求めよ.

解答

2.(広島大)
a,~b,~cを実数とし,a<1とする.座標平面上の2曲線
C_1:y=x^2-x,~C_2:y=x^3+bx^2+cx-a
を考える.C_1C_2は,点P(1,0)と,それとは異なる点Qを通る.また,点PにおけるC_1C_2の接線の傾きは等しいものとする.点PにおけるC_1の接線をl_1,点QにおけるC_1の接線をl_2,点QにおけるC_2の接線をl_3とする.
(1) b,~cおよび点Qの座標をaを用いて表せ.
(2) l_1,~l_2,~l_3が三角形をつくらないようなaの値を求めよ.
(3) l_1,~l_2,~l_3が直角三角形をつくるようなaの値の個数を求めよ.

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