接線となす角

2017年5月23日

接線となす角の問題です。

1.(一橋大)
2つの放物線y=x^2y=ax^2+bx+cは2点(-1,1),~(2,4)で交わっていて,点(2,4)における接線のなす角は\dfrac{\pi}{4}である.a,~b,~cを求めよ.

2.(埼玉大)
曲線C:y=\sqrt{3}x(x^2-1)を考える.曲線Cの接線のうち,傾きが0で,接点のy座標が正のものをlとする.
(1) 接線lの方程式を求めよ.
(2) 曲線Cの3本の接線l,~m,~nによって囲まれる図形が正三角形になるような接線m,~nの組み合わせをすべて求めよ.ただし,接線mの傾きは正とする.
(3) (2)で求めたm,~nに対して,l,~m,~nの囲む正三角形の面積を求めよ.

3.(一橋大)
曲線y=x^3上の点P(a,a^3)における接線をllがふたたびこの曲線と交わる点をQ,Qにおけるこの曲線の接線をmとし,2直線l,~mがなす角のうち鋭角であるほうを\thetaとする.a>0として,
(1) \tan\thetaaで表せ。
(2) \thetaが最大となるときのaの値と\tan\thetaの値を求めよ.

解答

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