法線の方程式

2017年5月10日

法線と直交に関わる問題です。

1.(三重大)
放物線y=x^2上の原点と異なる点Aにおける法線とこの放物線とのもう一つの交点をBとする.ただし、点Aにおける法線とは,点Aを通りAにおける接線と直交する直線である.
(1) ABの中点をP(X,Y)とするとき,YXを用いて表せ.
(2) Aを動かすとき,(1)で求めたYの最小値を求めよ.

解答

法線とは関係ありませんが,分数関数が出てくるものを2つ。

2.(関西大)
放物線C:y=x^2上に点P(s,s^2), Q(t,t^2)をとる.ただし,s<0<tとする.PにおけるCの接線とQにおけるCの接線の交点をRとする.
(1) Rの座標をstで表せ.
(2) \anglePQR=90°のとき,stで表せ.
(3) \anglePQR=90°でtt>0の範囲を動くとき,\bigtriangleupPQRの面積Sの最小値を求めよ.

次の問題は(1)はそれほど難しくはありませんが、(2)の最小値をどう求めるかは少し難しいかもしれません。一応文系で出題された問題なので微分は禁止とします(微分しても構いませんが、微分を使わないでどう解くかを考えてみて下さい)。

3.(慶応大)
関数y=x^3+1のグラフを曲線Cとする.正数t>0に対してC上の点P(t,t^3+1)を定め,PにおけるCの接線l_1x軸との交点をRとする.次に,C上にPと異なる点Qを,QにおけるCの接線l_2がPを通るようにとる.そして,l_2x軸との交点をSとする.
(1) \bigtriangleupPRSの面積をtで表せ.
(2) (1)で考えた\bigtriangleupPRSの面積の最小値を求めよ.

解答

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