法線の方程式

2016年10月27日2017年5月10日

法線と直交に関わる問題です。

１．(三重大)
放物線 $y=x^2$ 上の原点と異なる点Aにおける法線とこの放物線とのもう一つの交点をBとする．ただし、点Aにおける法線とは，点Aを通りAにおける接線と直交する直線である．
(1) ABの中点をP $(X,Y)$ とするとき， $Y$ を $X$ を用いて表せ．
(2) Aを動かすとき，(1)で求めた $Y$ の最小値を求めよ．

→解答

法線とは関係ありませんが，分数関数が出てくるものを2つ。

２．(関西大)
放物線 $C:y=x^2$ 上に点P $(s,s^2)$ , Q $(t,t^2)$ をとる．ただし， $s<0<t$ とする．Pにおける $C$ の接線とQにおける $C$ の接線の交点をRとする．
(1) Rの座標を $s$ と $t$ で表せ．
(2) $\angle$ PQR=90°のとき， $s$ を $t$ で表せ．
(3) $\angle$ PQR=90°で $t$ が $t>0$ の範囲を動くとき， $\bigtriangleup$ PQRの面積 $S$ の最小値を求めよ．

次の問題は(1)はそれほど難しくはありませんが、(2)の最小値をどう求めるかは少し難しいかもしれません。一応文系で出題された問題なので微分は禁止とします(微分しても構いませんが、微分を使わないでどう解くかを考えてみて下さい)。

３．(慶応大)
関数 $y=x^3+1$ のグラフを曲線 $C$ とする．正数 $t>0$ に対して $C$ 上の点P $(t,t^3+1)$ を定め，Pにおける $C$ の接線 $l_1$ と $x$ 軸との交点をRとする．次に， $C$ 上にPと異なる点Qを，Qにおける $C$ の接線 $l_2$ がPを通るようにとる．そして， $l_2$ と $x$ 軸との交点をSとする．
(1) $\bigtriangleup$ PRSの面積を $t$ で表せ．
(2) (1)で考えた $\bigtriangleup$ PRSの面積の最小値を求めよ．