共通接線1

2017年5月18日

2曲線が接する点での共通接線の問題です。共通接線の問題は本問のように2曲線が接する点での共通接線と2曲線が離れている場合にその両方に接するような共通接線と2通りあり、解き方も異なるのでしっかり区別しておく必要があります。

1.((1) 自治医大 (2) 静岡大 (3) 工学院大)
(1) 2つの曲線y=-x^3+a,~y=-x^2+bx+cは,点(-1,2)で接線を共有している.a-b-cの値を求めよ.
(2) 曲線C_1:y=x^3と曲線C_2:y=x^2+ax-12とがある点Pで接している.すなわち,点Pにおける2つの曲線の接線が一致している.このとき、定数aと点Pにおける共通な接線lの方程式を求めよ.
(3) 2曲線y=x-x^3,~y=x^3+px^2+qx+rは点P(-1,0)で共通接線をもち,その接線上P以外の点で交わっている.p,~q,~rの値を求めよ.

次は2曲線が接する点で2曲線のそれぞれの接線が直交する場合の問題です。

2.(津田塾大)
2つの放物線t=x^2+ax+by=-x^2が異なる2点で交わり,それぞれの交点でこの2曲線の接線が直交するとする.このとき,a,~bのみたす条件を求めよ.

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